Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Q =с<3*‘ ... Qxn. (8)
О ^1 ^ п
где С = /(1, ... , 1) и х* определяются из уравнений
bQi = ьихх + ... + Ьп1хп [/ = 1, .... п\. (8')
Доказательство. Так как величины Qi положительные и минор В — неособая матрица, то мы можем найти такой вектор *, что Тя( 1)= Q0, где 1 = (1.1); и пусть при этом С =
= /(1,...,1). Отсюда, применив формулы (5), (5') к соотношению С — /(1, ... , 1) = 0, получим равенство
Т а{С)—/(Q,......Qn) = 0.
Применяя формулу (2) к первому члену и перенося его в другую сторону, можно записать
/(Q,.....Qn)=c<01 а>-
*) Этому эквивалентно условие неравенства нулю определителя В (см, [45], стр. 304).
§ 62. Числа Рейнольдса и Маха
125
С другой стороны, так как минор В — неособая матрица, то система (8') имеет единственное решение х = (jtj, ... , дс„). Для этого решения х справедливы равенства
••• a»Xj-
Выполнив элементарные выкладки с показателями, получим
П V,! = П «;»'' = П •?'«'/
j ’ у, * * * *
Делая подстановку в правую часть равенства (9), получим формулу (8).
Для дальнейшего разъяснения смысла теоремы 1 приведем следующие известные примеры.
Пример 3. Предположим, что сопротивление D, которое жидкость оказывает движению твердого тела заданной формы, является инерциальным в том смысле, что оно определяется плотностью жидкости р, скоростью v и диаметром тела d. Тогда при *i = х, х2 = у, х3 = 2 формула (8) эквивалентна соотношению
MLT~2 = (LT~lY L\
так что уравнения (8') сводятся к виду
1=*, 1 = — 3*-|_y-|_z> —2 = — у,
откуда х = I, у = z = 2. Отсюда, если соотношение не зависит от единиц измерения, то D = KDpv2(P, где Kd — постоянная. (В действительности же величина Кг> = тсСд/в, которая носит название баллистического коэффициента сопротивления, слабо изменяется.)
Пример 4. Если сопротивление D определяется через р, v, d и вязкость жидкости ц в виде функционального соотношения, не зависящего от выбора единиц, и если силами инерции можно пренебречь («ползущие течения» Стокса), то аналогичный подсчет размерностей приводит к соотношению D = K*\ivd, где К* — еще одна постоянная.
§ 62. Числа Рейнольдса и Маха
В теореме 1 число п основных единиц равнялось числу г переменных, входящих в не зависящее от выбора единиц соот* ношение
Qo=/(Q,.......Q,).
126
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
При г = я + 1 рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1, приводят к формулам, содержащим полезные безразмерные параметры.
Теорема Г. Всякое соотношение Qo = f(Q..............Qr), не
зависящее от выбора единиц и содержащее (г—1) основных единиц, можно записать в виде
Qo = C(n)Q;> ... Q*r,
где II = Q“' ... Q“rr — безразмерное произведение степеней Q1, ... ,QT и Q0Q~X' ••• Q”*r=H0 такЖе безразмерное произведение.
Теперь мы проиллюстрируем предыдущий результат, представляющий собой частный случай П-теоремы (мы ее докажем ниже), двумя важными примерами из гидромеханики.
Пример 5. Предположим, что D =/(р, v, d, ц) есть функция от р, v, d и ц, не зависящая от выбора единиц при всех преобразованиях единиц длины, времени и массы по формуле (1). Безразмерные величины Kd = D/pv2d2 и Re = pvd/\i (число Рейнольдса) инвариантны относительно этих преобразований. Но с помощью одного из таких преобразований ') мы можем одновременно свести р, и, d к 1; при этом ц переходит в \ilpvd = 1/Re. Поэтому
D = KD(Re)pv2d2, где AT0(Re)=/ (l, 1, 1, . (10)
Пример 6. Предположим, что D подобным же образом определяется величинами р, v, d и сжимаемостью невозмущенного потока жидкости — d(l/p)/dp = dp/p2dp. При этом получаются безразмерные величины D/pv2d2 = Kd и v2dp/dp (размерность последней (LT~')2(ML~3) (MLT~2L~2)~l = 1). Физический смысл выражения v2dp/dp станет понятнее, если мы вспомним, что dp/dp = с2, где с — скорость звука в жидкости. Рассуждая, как в примере 5, получаем соотношение
Kq = /(М2), где М = j —. число Маха2). (11)
Формулу (10) можно вывести также из теоремы 2 гл. II, если предположить, что уравнения Навье — Стокса полностью
') Это доказательство в основном принадлежит Ваши; см. также Riabouchinsky D., L'Aerophile, September 1911.
2) Называемое во Франции «числом Сарро». Термин «число Махе»
предложил Acker ft J., Schweiz, dauzeitung, 94 (1929), 179.
§ 63. U теорема
127
определяют движение жидкости, ср. § 71. Аналогично формулу (11) можно вывести из уравнений Эйлера — Лагранжа, ср. § 73.
Прежде чем доказать П-теорему, мы приведем еще один важный пример применения анализа размерностей.
П р и м е р 7. Пусть имеется отнесенное к единице массы стационарное распределение энергии турбулентности между вихрями различных размеров к, так что dE = E'(k)d\. Предположим, что это распределение определяется инерциальным механизмом передачи энергии турбулентности вихрям меньших размеров X. Очевидно, что скорость передачи энергии, приходящейся на единицу массы, имеет размерность V2/T — L2/T3; следовательно, при любом изменении масштаба вида L-^aL, Т она умножается на величину а2/^3. Кроме того, чтобы Е'(к) сохранялось неизменным, эта скорость не должна зависеть от К. Отсюда осредненное время Т(К), необходимое для превращения вихрей размера А. в вихри меньших размеров, должно быть пропорционально A.!/j: при изменении масштаба величина Т имеет размерность LгЧ Теперь рассмотрим спектр частот энергии: dE = F(k)dk, где k = 2тсД есть волновое число. Поскольку dE имеет размерность V2 = L2T2, а величины k и dk = = 2irdA.A2 имеют размерность 1 /L, то функция F(k) имеет размерность L3/T2, или Z>, или k~>b. Окончательно из анализа размерностей следует формула Колмогорова для распределения энергии трубулентности: F(k) — к~>/г-
