Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Затем анализ размерностей применяли Мариотт и Ньютон2), но только Фурье (см. прим. 1) на этой стр.) впервые установил, что существуют определенные «основные единицы»,
') Так, Фурье ([59], гл. II, разд. IX) упоминает, что греки знали размерности площади и объема. Рэлей всегда ссылался на «подобие» и «динамическое сходство». У Галилея, см. его «Две новые науки» (1638), День второй. [«Беседы о двух отраслях науки», М.—-Л., 1933. — Прим. ред.]
*) Mariotte, Traite de la percussion des corps (1679) и Traite du mouvement des eaux (1686); Newton, Principia Mathematica (1686), т. 2, разд. 7. [В русском переводе: Крылов А. Н., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936. — Прим. перев.] См. также Bertrand J., / de I'Ecole Polut, 19 (1848), 189-197.
120
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
относительно которых каждая физическая величина имеет определенные «размерности», которые надо записывать как показатели степеней. Конечно, эта идея почти очевидна, если вдуматься в смысл «коэффициентов пересчета» при переходе физических величин от одной системы единиц к другой.
Посредством различного выбора единиц Фурье без труда показал, что одни и те же аналитические формулы дают как решения задачи об охлаждении сфер малых размеров так и задачи об остывании Земли. Поскольку нас интересует соотношение теории и фактических данных, то здесь уместно заметить, что выводы Фурье были не правомочны, так как он не учитывал конвекции и радиоактивного нагрева земного ядра. Тем не менее его метод исключения параметров путем изменения единиц стал теперь классическим и применяется со значительным (хотя и не одинаковым!) успехом во многих разделах физики. Стокс, Савар, Фруд, Рейнольдс, Ваши и многие другие исследователи с успехом использовали этот метод и установили ряд законов фундаментального значения.
Рэлей первым занялся изучением вопроса о том, насколько указанный прием плодотворен как общий метод исследования. Это вызвало длившуюся в течение двух десятилетий, 1900— 1920 гг., оживленную дискуссию с участием ведущих физиков
о молчаливо принятых ранее предположениях и о границах применимости анализа размерностей.
Эти предположения и ограничения, хотя на них часто не обращают внимания в технике и в популярной литературе, изложены наряду с другими вопросами этого раздела в классической монографии Бриджмена [46], к которой мы отсылаем любознательного читателя. Другими авторитетными источниками являются работы Л. И. Седова [57] и Лангхаара [51].
§ 60. Группа подобия
Одна из наших основных целей — обосновать анализ размерностей с помощью постулатов, в которых явно используется упомянутая в § 58 группа подобия положительных скалярных преобразований единиц измерения. Хотя постулаты будут формулироваться абстрактно, мы будем интерпретировать их при помощи простых примеров из гидромеханики, и, быть может, самым простым из них является следующий пример.
Пример 1. Допустим (или вспомним!), что скорость волны v в глубоком водоеме определяется ее длиной X и ускорением силы тяжести g, так что v = f(X,g). Допустим также, что это
§ 60. Группа подобия
121
соотношение остается тем же самым при любом выборе «основных единиц» длины и времени. Сделав эти предположения, мы можем математически рассуждать следующим образом.
Пусть в некоторой фиксированной системе основных единиц волна длиной X движется со скоростью v в гравитационном поле интенсивности g. Если выбрать новую единицу длины, равную а старых единиц, и новую единицу времени, равную т старых единиц, то длина волны запишется в виде X' = Х/а, а ее скорость — в виде v' = vi/a, в то время как ускорение силы тяжести примет вид g' = gi2/a. Выбрав а = X и х= VVg- мы получим
= g' = 1, и формулу
^ = г>'=/(Х\ ?')=/( 1. \) — С,
где С — скорость волны единичной длины в гравитационном поле, выраженная в новой системе основных единиц. Отсюда в новой системе основных единиц v — CVgb- Но, по предположению, функция f не зависит от выбора основных единиц; отсюда v = С также и в старой системе единиц, где С — не-
которая универсальная постоянная. (Для волн в глубоком водоеме С = 1/V2ir.)
Предыдущее рассуждение можно провести в абстрактной форме в терминах обычных понятий «основных» и «производных» однородных по размерности величин. Эти понятия характеризуются следующими двумя постулатами, которые представляют собой нечто большее, чем просто определения. (В примере 1 X — основная величина, в то время как v и g — производные величины.)
Предположение I. Имеются некоторые независимые «основные величины» [i = 1......л], такие, что они независи-
мо преобразуются «заменой единиц» по формулам
Т*. (?/) = */?/ U = 1.я; e,>0], (1)
где а,- — любые положительные действительные числа. (В механике п = 3, a qi — это длина, время и масса; в примере 1 л = 2, так как масса не входит в рассмотрение.)
Предположение II. Имеются «производные величины» Q, (такие, как плотность, скорость, вязкость и т. д.), которые однородны по размерности в том смысле, что при преобразовали по формуле (1) каждое Qj умножается на подходящий коэффициент пересчета»:
