Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
При больших Re, главным образом в интервале 40 < Re <
< 1000, реальные следы обычно бывают периодическими,
') Ramsauer С., Ober den Ricochetschuss. Kiel dissertation. 1903; [5], стр. 453. [Рнкошетированне по поверхности воды было изучено Л. И. Седовым (см. Седов Л. И., Водяные рикошеты, ДАН СССР, 37 (1942), N» 9).— Прим. ред.]
*) См. [17], гл. XII—XIV относительно более подробного изложения фантов.
112
Гл. III. Струи, следы и кавитация
благодаря чему часто слышна музыкальная нота. В случае кругового цилиндра частота колебания N связана со скоростью течения v и диаметром d приближенным эмпирическим соотношением
Поскольку течения с подобными периодическими следами стационарны, это представляет собой новый парадокс симметрии (§ 26).
В интервале 103 < Re < 105 реальные следы позади плохо обтекаемых тел оказываются преимущественно турбулентными, но в случае достаточно гладких поверхностей пограничный слой обычно не становится турбулентным до тех пор, пока не произойдет отрыв. Однако для значений Re > 3 X Ю5 пограничный слой, как правило, становится турбулентным до отрыва. Как уже объяснялось в § 28, это дает весьма суженный (но все еще турбулентный) след.
Существенная зависимость всех этих качественных явлений от численного значения Re делает очевидным тот факт, что никакая действительно фундаментальная теория реальных следов не может пренебрегать вязкостью. Тем не менее были построены различные остроумные модели следов на основе уравнений Эйлера.
Так, Мизес ’) предложил применять решение задачи Гельмгольца — Бриллюэна в качестве подходящего приближения реального обтекания цилиндра с ламинарным пограничным слоем. В том случае, когда из-за турбулентности пограничного слоя при больших числах Рейнольдса след сужается, хорошее приближение дает «след нулевого сопротивления».
Были предложены и другие «струйные» модели2), в которых вводится частичное восстановление давления в следе на больших расстояниях, что можно согласовать с эмпирическими данными.
§ 55. Вихревые модели следов
В других моделях следов заранее вводятся априорные распределения завихренности с целью выразить наблюдаемые свойства течения посредством простых математических уравнений. При больших Re опять-таки можно пренебречь вязкостью, что, по крайней мере при беглом рассмотрении, кажется оправданным.
') Мизес Р., Теория полета, М., ИЛ, 1949.
s) Roshko A., I. Aer. Sci., 22 (1955), 124-132; Cornell W. А. в [321.
[Схема, на которую указывает автор, впервые была введена Н. Е. Жуковским 15*]. — Прим. ред.]
§ 55. Вихревые модели следов
113
В одной из старых моделей вводятся два симметрично расположенных за круговым цилиндром точечных вихря, как показано на рис. 23 (ср. рис. 13). Этой модели, которой мы обязаны Фепплю, уделялось значительное внимание ввиду ее чрезвычайной математической простоты, интересной теории ее устойчивости и связи ее с моделями вихревых дорожек (§ 56). Если вихри расположены на кривой 2гу = г2 — а2 ([7], стр. 155), где а — радиус цилиндра, то вихревая конфигурация находится в (неустойчивом) равновесии. Кроме того, можно добиться, чтобы
конфигурация линий тока модели имела хорошее согласование с наблюдаемой экспериментально, примерно в интервале 5 < Re < 30.
Однако вблизи центра вихря в стационарном плоском течении многие поля скоростей напоминают конфигурации линий тока в виде концентрических окружностей, и, следовательно, не стоит придавать слишком большое значение упомянутому согласованию. Теоретически же в стационарном течении завихренность должна из любого центра распространяться во внешние области, становясь асимптотически постоянной внутри любой замкнутой линии тока ламинарного течения при большом числе Рейнольдса.
Эта значительно более подходящая модель была недавно предложена Бэтчелором1), однако до сих пор при конкретных расчетах не удалось преодолеть вычислительные трудности. Кроме того, в виду неустойчивости по Гельмгольцу, реальные следы при больших Re дают в высшей степени нестационарное
¦) /. Fluid. Mech., 1 (1956), 177—190 и 388—398; см. также Wood W. W., там же, 2 (1957), 77—87.
114
Гл. III. Струи, следы и кавитация
течение, и, следовательно, модель является нереальной. Для диапазона 5 < Re < 30, по-видимому, более приемлемой является модель вязкого течения Озеена (§ 31) ').
§ 56. Вихревые дорожки
Наиболее заманчивой вихревой моделью для следов является «вихревая дорожка», состоящая из двух параллельных рядов точечных вихрей, размещенных на одинаковом расстоянии, причем эти периодические ряды расположены «в шахматном порядке», так что вихри каждого ряда приходятся посредине между вихрями другого ряда. Эта модель была предложена Карманом2) для представления периодических следов за цилиндрами, наблюдаемых в основном в интервале 30 < Re < 300. Для нее комплексный потенциал W = U + iV записывается в следующем виде:
fe {'б sin — >gsin -J (* — j — /A) } • (36)
Таким образом, потенциал включает три параметра: интенсивность вихря х, продольный размер а и поперечный размер Л. В любом конкретном случае определение этих параметров, очевидно, является основной задачей, а любой набор значений х, а и h задает равновесное расположение.
