Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Для нас еще более интересно применение закона сохранения количества движения следа к модели «вихревой дорожки» из
') Для периодических или турбулентных следов — среднее значение этой скорости по времени.
2) Чтобы придать таким гипотезам математическую респектабельность, можно называть их «тауберовыми»
*) [17], гл. XII, § 9. Более раннее тщательное исследование провел Taylor G. Y., Phil. Trans., А225 (1925), 238—245; см. также Goldstein S., Ргос. Roy. Soc., A142 (1933), 563—573
4) И, § 115. Первоначально эту технику разработал Betz A., Zeit\ Flugt Motorliiflschijjalirt, 16 (1925), 42—44; см. также Fage А
Jones В. М., Ргос. Roy. Soc., A11I (1926), 592—603.
§ 57. Количество движения в следе
117
§ 56. В очень длинном вихревом «хвосте» с ограниченной скоростью среднее продольное расстояние а между вихрями не может изменяться со временем. С другой стороны, количество движения следа в расчете на единицу длины легко подсчитать по формуле hx/a, где h — среднее поперечное расстояние между вихрями. Теоретически из этого следует, что в невязкой жидкости, когда х постоянно во времени, значение Л (а следовательно, и отношение среднего продольного расстояния к среднему поперечному) должно быть постоянно во времени: здесь нет тенденции к единственному «устойчивому» ') отношению протяженностей. В вязкой жидкости сосредоточения завихренности ±х противоположных знаков диффундируют и взаимно уничто-жакпся; следовательно, можно ожидать возрастания величины А, что и наблюдается в эксперименте.
С научной точки зрения приведенные выше результаты интересны тем, что они помогают выяснить асимптотическую структуру реальных следов. Однако для получения конкретных выводов нужно ввести еще одну гипотезу подобия. Подобие и относящиеся к этому идеи будут основной темой последующих гл. IV и V. Относительно же применений к теории следов см. работу [17], гл. XII и XIV.
') Фактически даже отношение протяженностей Кармана Л/а - 0,281... дает неустойчивость, хотя и низшего порядка, см. [18]. [Это было установлено Н. Е Кочнным в работе [24*]. — Прим. ред.]
Глава IV
МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
§ 58. О моделях
Применение моделей при изучении механики жидкостей находит отклик у каждого, кто не лишен естественной любознательности. Какой мальчик не играл с моделями кораблей и самолетов и с упрощенными моделями плотин и водосливов? Но даже в наиболее развитых областях современной техники такие модели незаменимы и имеют существенное значение.
И несмотря на это, имеется очень мало таких физических дисциплин, где разрыв между теорией и инженерной практикой был бы больше, чем в области применения моделей к изучению гидродинамических явлений. Ученые-теоретики стремятся оставить в тени те неудобные факты, которые не укладываются послушно в рамки простой логической теории. В то же время инженеры, постоянно соприкасающиеся с действительностью под открытым небом и в лаборатории, обычно слишком перегружены частными техническими задачами, и им практически недоступно участие в академических дискуссиях. Ведь легче воздать на словах должное общепризнанным теориям, а при решении конструкторских проблем полагаться на опыт и интуицию.
Наша цель — уменьшить этот разрыв путем критического исследования проблемы в целом с обеих точек зрения. Мы начнем с теории моделирования, подчеркивая при этом связь с понятием группы.
Сначала, в § 59—65 будет дан критический обзор анализа размерностей. К анализу размерностей обычно обращаются, когда нужно обработать результаты экспериментов с моделями, и он обладает тем преимуществом, что для него не требуется математических сведений сверх курса элементарной алгебры, но зато и тем недостатком, что необходимо вводить добавочные постулаты, физическую надежность которых приходится проверять особо. В § 60—61 эти постулаты даны в теоретико-групповой формулировке в терминах «группы подобия» всевозможных чзменений основных единиц.
§ 59. Анализ размерностей
119
Затем в § 66—74 будет показано, как эти постулаты можно вывести из математических формулировок динамики жидкостей, рассмотренных в гл. I, II, проверяя гидродинамические уравнения на инвариантность относительно заданных групп. Мы ^удем называть указанный метод инспекционным анализом, заимствуя этот выразительный термин у Руарка [56]; фактически, метод основан на старой идее, которая была предложена Афанасье-вой-Эренфест [61]. Но до сих пор данный метод никогда практически не использовался, хотя, как мы покажем, он является значительно более надежным .(§ 72) и более общим (§ 74), чем анализ размерностей.
Наконец, в § 75—78 выводы инспекционного анализа (и анализа разномерностей) будут сопоставлены с практикой моделирования. Как и в гл. I и II, окажется, что действительность намного сложнее теории. В инженерной практике должны учитываться многие факторы, игнорируемые при математическом описании, и приходится использовать некоторые приемы, не получившие еще научного обоснования.
§ 59. Анализ размерностей
Анализ размерностей возник в результате распространения на физические явления понятий геометрического подобия, отношения и пропорции, знакомых еще грекам '). Впервые это было сделано Галилеем при определении прочности балок из данного материала в зависимости от их линейных размеров. Он ввел интуитивно очевидное предположение о том, что разрушение балки происходит тогда, когда сила, отнесенная к единице площади (напряжение), превосходит некоторую максимальную величину, характерную для материала балки. Галилей пришел к выведу, что величина безопасной нагрузки на единицу объема обратно пропорциональна длине и предвосхитил многие другие классические результаты.
