Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Карман показал, что в невязкой жидкости такое расположение имеет неустойчивость первого порядка (т. е. отклонения от положения равновесия растут экспоненциально), если только ft/a не равно 0,281 (приближенно). Он показал также, что аналогичное размещение вихрей, при котором вихри в обоих рядах остаются параллельными [величина а/2 опускается в формуле (36)], всегда неустойчиво.
Кроме того, исследуя скорость К, с которой завихренность распространяется в пограничном слое по обе стороны, Гейзенберг и Прандтль3) получили соотношение
+ (37) откуда х^ (I -f Q)av1/4. Хотя сам вывод весьма приблизителен, результат является надежным с точностью до множителя 2.
') Литература приведена в [17], стр. 263, примечание 13. Отличный исторический обзор вихревых систем в следах дал Р о з е н х е д Л., сб. Проблемы механики, ИЛ, М., 1955, стр. 446—454.
*) Gott. Nachr., Math.-Phys. Kl. (1912), 547-556.
3) Heisenberg W., Phys. Zeils., 23, (1922), 363—366 и комментарии Прандтля на стр. 366; см. также [3], стр. 555, 564 и [11], т. 2, стр. 132.
§ 57. Количество движения в следе
115
Наконец, легко догадаться, что величина А не должна намного отличаться от диаметра цилиндра d\ в § 57 мы сможем в большей мере обосновать это теоретически. Учитывая все приведенные выше соображения, можно построить приближенную априорную модель периодических следов.
Очевидно, что эта модель вихревой дорожки возникла не из решения математической краевой задачи: остроумная идея Кармана не принадлежит к «рациональной гидродинамике» в смысле § 1. Так, в этой теории обтекаемое препятствие не является неким реально существующим геометрическим объектом.
Было высказано предположение, что вихревые дорожки естественно возникают при закручивании вихревых слоев, представляя, таким образом, асимптотические решения задачи Коши. Однако приближение в виде модели сосредоточенных точечных вихрей является нереальным как теоретически, так и экспериментально '), даже несмотря на то что, как иногда говорят, вихревые слои закручиваются, причем «завихренность все больше и больше сосредоточивается в закрученных участках».
Эти замечания имеют своей целью подчеркнуть, насколько далеко ушла современная гидродинамика от простой и догматической идеи Лагранжа. Все стационарные вихревые течения из § 55 и все решения задачи Гельмгольца удовлетворяют уравнениям Эйлера для несжимаемой невязкой жидкости; это показывает, насколько далека от «корректной» постановки задача стационарного течения для этих уравнений.
В действительности же само понятие «стационарного течения» ошибочно с физической точки зрения для жидкостей малой вязкости!
§ 57. Количество движения в следе
Однако тот факт, что идеи Лагранжа оказались ошибочными, не означает, что теоретический подход в гидродинамике следует отвергнуть. Как мы видели в гл. II, есть большие основания считать уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости заслуживающими доверия. Наше рассмотрение теории следов мы закончим кратким обзором результатов, полученных к настоящему времени при помощи этих уравнений. Как и в случае кавитационного движения (§ 49), многое может быть объяснено при помощи законов сохранения.
Возможно, что наиболее полезной является интерпретация количества движения следа. В эксперименте позади всякого
') Теоретический разбор см. в работе Birkhoff G, Fisher J., Rend. Soc. Mat. Palermo. 8 (1959), 77—90, относительно экспериментальных данных см. [3], гл. XIII. Цитата взята из той же работы.
116
tл. III. Струи, следы и кавитация
движущегося в жидкости твердого тела мы наблюдаем движущийся вперед «след». Таким образом, для двумерного случая можно определить количество движения следа, приходящееся на единицу длины, на расстоянии х от препятствия, по формуле ([17], стр. 266).
М(х) = р J u(x,y)dy, (38)
где ось х выбрана параллельно направлению движения твердого тела, а величина и обозначает поступательную скорость1) движения жидкости.
Если мы принимаем эмпирический факт, что вне следа завихренностью можно пренебречь и поэтому здесь применимы приближения классической гидродинамики, то это приводит нас к предположению, что количество движения М(х) фактически не зависит от величины х — небольшого расстояния позади препятствия2). Эта гипотеза подтверждается экспериментально.
Далее, естественно предположить, что количество движения в следе создается давлением тела на жидкость (второй закон Ньютона) и что оно равно по величине и противоположно по направлению сопротивлению D, которое жидкость оказывает движению тела (третий закон Ньютона). В частности, сопротивление D должно равняться возникающему за единицу времени количеству движения в следе, которое в свою очередь должно равняться произведению их М, где М — количество движения в следе в расчете на единицу длины.
Эти интуитивные догадки можно сформулировать математически и вывести из разумных предположений относительно течения жидкости3). Еще более интересно то обстоятельство, что некоторое уточнение таких формул дает наилучший способ измерения фактического лобового сопротивления крыла в полете,— по давлениям в трубках Пито, определяемым позади крыла на расстоянии от него, составляющем небольшую долю ширины крыла 4).
