Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(например, s) низших частот. Дли зило необходима заменить заданное
распределение масс (жесi костей) достаточно большим (во всяком случае. не
меньшим, чем s) числом сосредоточенных масс (упругих шарниров). Однако н
в этом случае результат может сильно зависеть от выбора мост
сосредоточения параметров.
Формула Рэлея
Формула Рэлея основана из энергетическом соотношении (9), гл 4 н в
зависимое.! и о г шил колебаний приобретает одну из форм, указанных в
табл 11, гл. 4; при этом выбираю! (с точностью до постоянного множителя)
функцию, описывающую форму перемещений стержня. Наряду с этим сущеешуюг
иные парна нш зчниси, приведенные в табл. 12.
306________Свободные и вынужденные колебания стержней
12. Выражения квадрата собственной частоты
5 С. Продольные колебания Крутильные колебания Поперечные колебании
1 f ЕР{Х')*4х 6 | GJV (A')s dx 6 I I EJ (A")z ox 0
1 (' тХ2 d* + 2 mtxj 0 f IX2dx +2 l,X2 6 f тХ-dx +E"',X/ b
1 f Л'1 dx Ъ i f Mjf dx 0 ( \ Al2 dx b
f mX2dx+ 0 / j' IX2 dx 2 1 ix \ b I f mX2 dx -r2m,Jf/ o
I j* ч (л) X dx 0 I f pi (j:) X dx 6 I i q (A) X dx b
f mX2dx + 2mi*f b I f IX2 dx +21,*2, b / \ mX2dx t2 mix'i 0
I j q (a) A' dx pixi 0 l j p. (л) X dx V-i*i b l )lM Xdx-t^PfXf
b
I f mX2 dx + 2 ь I f IX2 d. +2 >ixl h I С mX2 dx + 2m?*f ii
I j mX dx +2 mixi I) i f mX dx -r 2 rniXi 6
й I j mX2 dx + 2",*; 0 g l- 1 tn\" d\ f- 2 1/1 iX^ h
Обозначения: т (л) - интенсивности распределенной массы; -сосредоточенные
массы: / (*) - момент инерции единицы длины стержня относительно его оси.
/(-моменты инерции дисков.
I
Свободные колебания (приближенные исследования) 307
Варна hi i предполагает определенный предварительный выбор функции А (х),
описывающей перемещения стержня при колебаниях.
Вариант 2 не отличается от варианта 1, если задаваться функциями А' (а),
а внутренние усилия определять по формулам
Однако можно задаваться распределением вну iрениих усилий N (а), Мх (а)
или /V/ (а) н путем интегрирования соотношений (45) определять
соогвегсгвукэдие функции X (а).
В варианте 3 сначала задаются некоторой нагрузкой q (а) 1или моментной
нагрузкой р (а) в случае крутильных колебаний] и затем определяют
вызываемые этой нагрузкой перемещения А' (а).
Вариант 4 близок к варианту 3, но относится к случаю, когда задаваемая
нагрузка содержит также сосредоточенные силы Pi или сосредоточенные
крутящие моменты р/. Наибольшей определенностью обладает вариант 5; здесь
в качестве нагрузки q (а) [или а (а)] принимают фактические веса единицы
длины gm (а).
Применение взриантов 1-4 может привести к точным результатам iii
вариантах 1 и 2 - если принимаемые функции точно совпадают с истиной
собственной формой колебаний, в вариантах 3 и 4 - если принимаемые
нагрузки пропорциональны истинным силам инерции, развивающимся при
главных колебаниях). В остальных случаях, а также при пользовании
вариантом 5 репльтаты вычисления собственной частоты получаются
завышенными.
Пример Г. Определить основную частоту изгпбных колебаний консоли (рис 6).
N - EF A'; MK=GJPX', М = EJ А".
(45)
Рис. 6
Сначала воспользуемся вариантом 1 и примем
(46)
Теперь находим
XV (А) =
| EJ {Х' Уйх
4СТ
О
L
0
и согласии нарнанту 1 табл 12 определяем
4 EJ ml 20 EJ
п fill fcWI. J
p ~ 18 5 - = nil*
(47)
что заменю отличается от точного результата
(48)
/
308 Свободные и вынужденные колебания стержней
Причину столь большого расхождения следует видеть и недостаточно "-
•дачном выборе функции X <х).
По варианту 2 еададиися не формой изгиба, а выражением изгибающего
момента Примем
"-('-"гГ
и интегрируя 2 раза соотношение
")
ММ t jJ.i-M"
находим
f (1--г'Г+С;
BJX -f j4 +с*+с.
Из условий на правом конце
S) X (/) = 0; *'(/)= С
' получаем
С " С; D = 0,
так что
Iя х ',-1
12 fcV \
Теперь по варианту 2 табл 12 находим
J(-*r
1И5?/
Р~ ~ 1 г ^ Ът1* '
EJ | m [тИГ ('-rj1]"d'
t yr tT (49)
Гораздо лучшие результаты получаются по варианту 4, если принять в
качестве функции X (х) кривую иагиба. вызываемого сосредоточенной силой Р
на конце стержня (рнс. 7, а).
При этом
жг{•p___7L+2)
и, соответствеиио,
г. РР
14U?-/
llm/*
Следующее отсюда значение собственной частоты
3,63 I / ~ЁТ Р - "J1- У ~ш~
ъма мн.ю оглпчастся от точного значения (48).
Свободные колебания (приближенные исследования) 309
Согласно варианту 5 необходимо принять ча функцию X ixj кривую ста-i:
тесного изгиба, вызываемого равномерно распределенной нагрузкой (рис 7.
б)
При этом
I
mX dx =
msglE
20 r.J
I in Xs dx -
(31)
По формуле табл. 12
) mX dx
| mX- dx
i einj 13ml*
nin очень близко к точному значению (48).
Формула Граммеля Формула Граммеля также дает всегда завышенные результаты
ii в зависимости от вида колебаний принимает форму, указанную в та"\1.
23.
IJ. Формулы Граммеля дли определения квадрата собственной частоты
\ mX2dx+ т.х\
310 Свободные и вынужденные колебания шершней
Перед вычислением собственной частоты, например изгибных колебаний, нужно
задаться формой колебаний X (а-) и. приняв за нагрузку q произведение
