Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
- СеГ ( al) - \ (al\ = C:
aC.V (aI) -j-tiC^S (al) ---------- U (al) - 0.
(I'c/
Отсюда находим
V (al) T ("0 - V <a/) S (al)
a?kJ ' T (al) V (al) - S- (a/)
L'i --
С - !'° V* ~ lJ A
8 ~ a*EJ ' T (al) V (al) - S" (an '
Следова гельн о.
a*EJ T (al) V (и!) - 52 (at)
Для днухопорной балки, нагруженной посередине силон, аналогично можно
найти
*(4-)-^Мг-"-тН
"(4)~й-М+"ь*)-|
Приложение метода начальных параметров см. в книге [2]
(87)
Общий случай действия возмущающих сил. Разложение решения по собственным
формам
При действии распределенной периодической возмущающей нагрузки вида Р (х,
f) МОЖ1Ю разложить ее в ряд Фурье и оронгь решение по способу, указанному
на сгр. 314-316, суммируя затем действия всех отдельных гармоник. Другой
способ излагается ниже; он состоит в разложении возмущающей нагрузки в
ряд по собственным формам колебаний.
При вынужденных продольных колебаниях стационарная часть решения имеет
вид
!!(*, ()= ? S" (0Х"", (88)
А=1
|де Хь(х) - ft-я собственная форма колебаний, а функции времени ?>* (t)
определяют из уравнений гииа
- Р* (0*
318 Свободные и вынужденные колебания стержней
Правые часги этих уравнений определяются выражениями
Рк (О - \ Р (*" t) Xk (О dx: j т (х) А'| (х) dx <90)
о
о
Знаменатель равен единице при нормировании собственных форм по выражению
(9).
Те же соотношения остаются справедливыми и для других типов колебаний -
крутильных (с заменой и на ф) и поперечных (с заменой и на v).
Пример 12. Определи(ь вынужденное движение днухоноряой балки постоя ыою
сечения под действием знез.ншо приложенной сосредоточенной силы /'
посередине пролета.
Собственные формы колебаний определяю!ся выражением
Для вычислений но формуле (SO) необходимо найти.
/
| Р (А. t) хк (л) d.\ - Р ми
ю (х) Х}{ dx
ни
О
Следова > ельно.
и уравнения (89j принимают вид
- о 2Р кп Ьк + Рк к -- - si,i -ж
Исиение этих уравнений при нулевых начальных условиях:
и динамическое перемещение определяется выражением inua (88)
Гяк. для середины пролета
Подученный ряд сходиicn очень быстро, так как знаменатели отдельных
слагаемых возрастаю! пропорционально А1-
Колебания рамных систем
319
КОЛЕБАНИЙ РАМНЫХ СИСТЕМ
Общие сведения
Рамные конструкции, как я отдельные стержни, могу г быт ь схематизированы
в виде систем с конечным числом степеней свободы (см. стр. 305): в этом
случае их рассчитывают согласно указаниям, приведенным в гл. 4. Ниже даны
сведения о расчетах свободных и вынужденных колебаний плоских рам,
рассматриваемых как системы с распределенными параметрами. При э гам
предполагается, что каждый из стержней, входящих в состав рамы, имеет
постоянное поперечное сечение с жесткостью EJ и равномерно распределенную
массу интенсивностью т,
Наиболее удобен для динамического расчещ таких систем метод перемещений,
основы которого, применительно к статическим задачам, были изложены в гл.
3, т. ]. Согласно этому методу основная система образуется путем введения
связей, препятствующих поворотим и линейным смещениям всех узлов рамы
(если соответствующая подвижность не исключена связями, имеющимися в
заданной системе). За "лишние" неизвестные принимают угловые и линейные
смещения узлов, причем для определении неизвестных служат канонические
уравнения
T\\Zy + CtsZa -
э = 0;
191)
rn\ZI Ь Cn-'Z-i -f- - РЛр - 0;
здесь - единичная реакция, г. е. реакция, возникающая в i-й
дополнительной связи ори равном единице смещению со к-му направлению (при
неподвижности остальных дополнительных связей); R[P - реакция,
возникающая в i-й дополнительной связи вследствие действия заданной
нагрузки.
Ниже рассмотрены только случаи одыма/потных колебаний: свободных
колебаний по одной из собсшепиых ']ч#р.м (когда искомыми являются
собственные частоты) или вынужденных колебаний под действием
моиогармоннчсских возмущающих сил (когда искомыми являются амплитуды
колебаний). В этих случаях величины Zt-, входящие в уравнения (91),
представляют собой амплитуды перемещений, а коэффициенты г,/? п свободные
члены Rip- аматиiуды соответствующих реакций.
Выражения для определения коэффициентов г,* е зависимости от схемы
стержня, входящего в основную систему, н от типа заданного единичного
смещения приведены в табл 15 (функции S, Г, U, V см. в табл.4).
Свободные "йены RiP в зависимосш ot схемы cii-ржня для случаев, когда
возмущение задано в виде сосредоючепной посередине пролета силы Р sin
со/, определяют но формулам табл. 16.
Единичное смещение Единичны ft поворог
320 Съоб&Ъшг и вынужденные компания стержней
1\ Формулы дли определения коэффициенте"
Схема стержня
Расчетные формулы
(if- ! (SI' - TV)
! - иг - TV ' a'EJ {SU - V s) c* - TV ar.JV rmk= i; г - i :
- u*EJU rnk ~[s- TV
a* EJ (UV - ST) rlk~ bV - TV :
o' fc MS/ - UV}
Ij* - IV ¦
a2EJ IV1 -SU) . U' - TV u'EJU '"* " U! - TV :
- a*Ejr
iIяEJ {U2 - Sz) ~ SV - TU
c'/'J (ЬГ-1/V) _ M -71/
. и"?ЛН r/l" " SP - 77/' aU
Колебания рамных систем
16. Формулы для определения свободных членов R^p
