Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если силы Pi (*) изменяются по синфазным гармоническим законам с общей
частотой со, т. е. задапы в виде
Рг = Р01 sin (at; Ра - Р0г sin (at, . . ., Рп = Роп sin (at, (178) то
решением любого из уравнений (177) служит сумма
^: Р
Qi = ^ л ' sm tat (179)
Pi со
и вместо выражения (179) получаем п п
У I °CS ak<Pok
Ш - ь'т'г J'~l sin (at. (180)
В этом случае амплитуда колебаний могут быть также найдены
непосредственно, если положить в системах (174) или (175)
Ш - Ai sin (at (181)
Амплитуды Ai определяют нз системы алгебраических уравнений п
- -1- ? racAi - Pio (182)
k^i
(прямая форма) или
п п
Ai-(a2 J] bujnkAi - 2 f>ikPkо (183)
ft=i k=\
(обратная форма).
Пример 10. Определить амплитуду колебаний системы, показанной на рис. 24,
если к первой массе приложена возмущающая сила р, = Р0 sin oit. В данном
случае можно пользоваться системой уравнений (182):
-mj/ljfc)1 + (Ci ¦+¦ с,) Аг -
- с*Аг = P<f. т2А - с2А i -f- с2А 2 = 0,
или системой уравнений (183):
Л--",|ттЛ.+ТГЛ-]'*^
1 с,
II 1 \ .1 Рш
I
Колебания систем с н&шзь&илш степенями свобопы
283
После решения любой из этих систем получаем л___________________Р" <с"
~ ,Ж)'>____________ л.
(с1+>
•"!"") ('2
Если to = то амплитуда колебаний пер мой массы paai
тирезонанс пер составляет Дг --
Зависимость амплитуды колебаний первой к* !ссы от часто!ы возмущающей
силы для случая с, = с* - с. т, = гпс - /и. Рп = I показана
на рис- 31.
При со - 0,618 I/ ¦!- и со ;- 1,62 I - возникает резонанс,
а ьри со =
' т • я:
- ант и резонанс.
Действие сил вязкого сопротивления. При гармонических возмущающих силах
(178) влияние сил вязкого сопротивления выражается в двух основных
эффектах:
фазы колебаний различных точек системы не совпадают между собой и
отличаются от фазы возмущающих сил;
амплитуды колебаний точек системы меньше соответствующих амплитуд системы
без трения и всегда конечны (включая резонансные условия).
Амплитуды вынужденных колебаний определяют nyiCM подстановки решения
yt = А{ sin (to/ - щ) (i = l, 2, . . ,, п) (185)
в дифференциальные уравнения движения.
Вместо выражении (185) можно также принять
yz - щ sin tor -J- hi cos tor {* = 1, 2 n)
(186)
Пример И. Определить амплитуду колсба.шй системы, показанной па рис. 2У
после введения i аснтсля (рис. 32). если на первую массу дейсызует
возмущающая сила Pt = P0 sin с '
'"1^1 + mJ/i+Cs {fifi - y*)4 - * (V, - yt) = Pv sin of, Шгйг 4 Cl 0/2 -
S"i)+
4- ft (//* -' у,) - o.
jvv/.- "Г
yvwwvf
Рис 32
Решение системы (187) разыскивают в виде
U\ - ai sin соГ fci cos "Г.
У г = О 2 sin Ml 4- bt cos юГ.
После подстановки решения (188) в уравнения ПКм излучаем [-гл,п,1оа +
(с, 4- ?,) о, - CjOj - Afc,to - kbxM - P^l sin соГ4-
1 -ч",!"*(r)* 4 (ct 4- Cj) b, - ctb2 4- bo,to - Avud>] cos tor
-- 0;
|- mansto* 4 c*aa - csOi - hba<a -j Aft, to 1 mii tor -r 4 I-т4Ь2<0* +
c2b2 - c2b, -t- hOi<u - An,!:) 1 cus to/ = 0.
284 Основы теории колебаний механических систем
Каждое из выражений, стоящи* d квадратных скобках, должно быть равно нулю
(для тождественного удовлетворения обоих уравнений); это дает четыре
алгебраических уравнения для определения alr at, Ь,. Ьг. Амплитуда
колебаний первой массы оказывается равной
'\-V "! + "? =
в_________________________Р0 VrUi - №"">")* +
*8to*_______________________
V'Yl-rrtjW* -I-с,) <c2 - msw*) - + k*e>* (- /л,и* +с, -1/1,0"*)*
(199)
Аналогично может быть найдена амплитуда колебаний второй массы но формуле
Л2 = Vа\ + &2'
ЛИТЕРАТУРА
1. Л и д р о н о в А. А., Витт А Л , X а й к и н С. Э.. Теория колебаний-
М., Физматгиз, 1956.
2. Б а б а к о в И. И. Теория колебаний. М . ГИТТЛ, 1958
3 Ден - Га ртог Дж. Механические колебания. М.. Физматгич. 1960.
<1 И о р и ш Ю. И. Виброметрии. М.. Машгиз. I960.
5. К а и н н г х э м В. Введение в теорию нелинейных систем. М ,
Гос-
энергоиздат. 1962.
6. Ка УДе ре р Г. Нелинейная механика. М. ИЛ, 1952.
7. Кин К. Гонг, Теория механических колебаний М.. Машгиз, 1963.
8. Л о й ц я н с к и й Л. Г , Лурье А. И. Курс теоретической
меха-
ники. Изд. 5-е. т. 2. 1 остсхиздат, 1955.
9. П а и о в к о Я- Г- Внутреннее трение при упругих колебаниях М.,
Физматгиз. 1960.
10. П а н о в к о Я- Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.,
"Машиностроение", 1967.
П. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 3.
разд. 2. М.. Машгиз, 1959.
12. Сто кс р Д ж. Нелинейные колебания н механических и электрических
системах. М., ИЛ. 1952.
13. Т и м о in с н к о С П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз,
1967.
14. Фи л и и п о в А. П Колебании механических систем. Киев, изд-во
"Наукова думка", 1965.
15. Вульфсон И И., Колонский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин. Л.,
"Машиностроение". 1968.
16. Диментберг Ф. М., Шаталов К- Т., Гусаров А. А. Колебания машин. М.,
"Машиностроение", 1964.
17. Коловскнй М. 3 . Нелинейная теория виброзащипшх систем. М.. "Наука",
1566.
18. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченны" возбуждением.
