Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Схема стержня Расчетные формулы
X р Strut I ft-mp ft/p I ftnp " .. ** U* in SatQ-UQ Va' r p r° 2
si/a- UaVa
ft tip (1 P si nut -*r^a ft ip j ftnp r . *" EA-V" " p w.-v.
Свободные колебания
При решении задач о свободных колебаниях рам Rtp = система уравнений (91)
становится однородной: глi^i г12^2 - • •" + гхп7-п - С;
r2lZt -f- • - • i- r2,Zn =- 0;
rA\j7\ i~ rn±Zjl
т r,UlZa - 0.
(92)
Порядок определения собственных частот рамной системы состойi в
следующем:
а) образуют основную систему введением дополнительных связей 1,2... , п\
б) с но мощью таб.ч. 15 определяют единичные реакции rtk, возникающие в
дополнительных связях системы под действием поочередно прикладываемых
смещений Zp - I;
в) составляю! уравнения (92);
г) составляют частотный определи гель Гц. г12, ... гт
(931
г,и, гП2. . • •, г.
И приравнивают его нулю (это выражает условие ненулевых решении для Z();
д) после ра звер тыва н и я частот! гого о 11 редели тел я пол у чи ю
i часто!-ное уравнение, для решения которого обычно используют численные
способы
11
322
Свободные и вынужденные колебания стержней
Пример 13. Определить собственные частоты колебаний для рамы,
изображенной на рис. В. а. Жесткости и массы обоих стержней одинаковы.
Принимаем основную систему по рис. 8, б; она содержит одну дополнительную
связь (против поворота узла рамы).
Задавая угол поворота Z, - - I (рис- В, с), находим из табл. 15
Л a EJ (Si7 - TU) slm 1 cos nl - sin al ch al
41 ~ Ь'г - Ти = l - cos al ch al
для горизонтального стержня) и
в aCJ (Г* - Vе) sin a; sh a;_
rll - SV - TU G ' sh al cos al - sin uI ch к!
(для вертикального стержня) Следовательно,
aE.l (sh ai cos at - sin al ch al)* - (l - cos al ch al) shalslnal
- (1 - cos a/-ch nl) (sh at cos al - sin al ch al)
здесь 5, T, U и V - функции Крылова, определяем по формулам (26).
°)
Рис- 8
lvt\
/
I) X
Система уравнений (92) вырождается в данном случае и одно уравнение rtlZ,
= 0.
Условие Zt ф О приводит к частотному уравнению: г" = 0, т с sin* al ch*
al -J- sh* al cos* al - 4 sin al sh a1 cos al ch al -}- 2 sin al sh al =
0. Решая сто трансцендентное уравнение, находим первые два нория : Ь.543
:е собственные частоты
сто трансцендентное уравнение, (al), = 3,393, <ai)" :
11.228 i/
EJ
42,Hi "I/ LJ
Вынужденные колебания
Для решения задач о вынужденных колебаниях рам используют систему уран
нений (91) в следующем порядке:
а) образуют основную систему введением дополнительных связей 1, 2, , . п;
б) с помощью табл, 15 определяют единичные реакции г/*, возникающие в
дополнительных связях системы под действием поочеренно накладываемых
смещений Z*. При этом величину а определяют по формуле (27), но вместо
величины р в формулу нужно подставить круговую частоту возмущения со;
Ко-еСанич рамных систем
323
в) с помощью табл. 16 определяют свободные члены уравнений Rxf) как
реакции в дополни 1сльных связях, вызываемые заданной внешней нагрузкой:
г) образуют систему уравнений (91), представляющую собой систему
алгебраических уравнении относительно неизвестных перемещений Z(-;
е) каждый из стержней рассматривают под действием заданной внешней
нагрузки и найденных выше смещений Z,- на концах. При этом определяют
внутренние усилия н сечениях (см. указания в гл. 3, т. 1).
Пример И. Опр рамы, показанной i ковые
Psinut
з-
И)
а)
Основная система показана на pi с. 8, 6.
Ндиничцая реакция, найденная в предыдущем примере,
ukJ [(St' - TV)1 + </* -Vs) (I/* - TV)\ flt ~ iU*-TU) {SV - TU)
Величина coi-iaciio табл. 16
Ua
l<tv = "5Г * sara - uava *
Уравнение для определения амплитуды неизвестного угла поворота Z,
uEJ USV - TU)1 -+- (/* - V*) {Vх ~Т1/)\ " , Г ,
П/i - п/, isv - 7-1/1 л" '
о.
v_________---------- П
Решая уравнение, находим
________Р_ al-.J [(ЗУ - TU)* + (Г* - У1) (Уг - ТУ)1
1 4а2/:.! ' (U* - TV) <SK - TU)
Рассматривая каждый из стержней по схеме, показанной на рис. 9, 6, строят
эпюру моментов
Во всех приведенных выше выражениях функции Крылова S, Т, U. V
4Л(tm)й*
вычисляют при значении аргумента сс/ = т/ • gy I, а функции Крылова Sflt
at V" ww1 i
1 а- a' Va ~ При ,1,ачс,,нн аргумента -- = у ~?j" ~J~' где ш " за' данная
частота возмущающей силы.
324 Свободные и выну пденные колебания стерт*ней
КРИТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ОБОРОТОВ ВАЛОВ Вал с одним диском
При вращении вала, несущего несбалансированный диск, ось вала под
действием центробежной силы прогибается и совершает прецес сионное
движение, описывая некоторую поверхность вращения. С уве личением угловой
скорости прогибы оси возрастают и становятся особенно значительными с
приближением угловой скорости к некоторому определенному (критическому)
значению; соответствующее число оборотов также называют критическим. При
дальнейшем увеличении угло вой скорости сверх критического значения
прогибы оси вала вновь
уменьшаются и центр тяжести диска все больше приближается к оси вращения;
последнее явление называют самоцентрированием диска.
Изменение прогибов оси вала в сечении, с которым связан диск, в
