Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 77

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 165 >> Следующая

массы или сосредоточенные упругие связи, удобно пользоваться методом
начальных параметров н нормировать не собственную форму колебаний Л*, а
функцию времени Tk'.
Tk =si" (а'+%)¦ (">
При этом собственная форма приобретает смысл кривой амплитуд колебаний,
постоянные Сд. и Ь* выражают через начальные параметры и собсгнснпую
форму записывают в виде
<¦*>
(продольные колебания);
Сшмиыс и .УЛ.-,колония ипержней ' СлюМяьк тлЗаюя (точные
пыедчпнич)
290
Свободные к вынужденные колебания стержней
з. Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний для
некоторых граничных условий
Схема стержни Собс гвеи и не час 1 о rt i Собственные
формы колебаний
1 1 . f'k 1Л-1) Xk (*) = , . n(2k~\)x
А 2/ "
2 \ . л Частотное уравнение * pi t_ pi pFl Хк
<*> = r '"b* cksin sr
i " • a т"
3 1 f' Але хк U) = Ал." Ck sin --
J f
if Частотное уравнение
tg P- EF x- - ;'AA
A G a cl
* Значения низшего корня частотного vpaв 1енин
даны в табл. 3.
3. Значения низшего корня частотного уравнени дли схемы 2
табл. 2
рFt Pi-' Р FI т. Pi<' OF! P
1,5/ А 1,21) 1 0,50 0.65
100 1,56 2 1.03 0,31) 0,52
20 1,52 1,5 0.У8 [ .1, Sli 0,42
10 1,42 1,00 0,86 0,10 0,32
5 1,32 0,00 0,82 0,05 0,21
t 1,27 0,71 О" 71 ' 01 0,10
Свободные колебания (точные исследования)
291
(13)
(кру шлькые колебания).
В выражениях (12) и (13) г;0 и (р0 - начальные смещения (линейное и \ [
ловое); Л'о и Мп - начальные усилия (продольное усилие и кру>я-шнй
момент); все эти величины относится к сечению ж - О в момент времени,
когда Т (t) = I. Выражениям (12) и (13) соответствуют выражения для
внутренних усилий в текущем сечении
_щ№р . рх
(продольные колебания) и
ММ -Л?" cos-^ - s,n JO- (15,
(крутильные колебания).
Поясним дальнейшие выкладки на примере продольных колебали".
С помощью выражений (12) и (13) образуются последовательные c-joiношения
для конца первого участка длиной 1У
- A'ffl pi. . - plt и, --= -т~- sin Н "о cos - •
pLFt а а *
- гг pit UnEFp pt i
i\\ = Л n cos -------------------- sm -
(16)
здесь F, - площадь сечения на первом участке; затем для конца в горечи
участка
Лr.a piа . - pl2
ui = 5Ш - + ил cos -; 1 phF* а а *
- - р/2 UipEFv . Ph
Дгз - Л1! cos ------------- shi --
(17)
н 1 д. до конца стержня.
Таким способом величины ип и jVn для концевого сечения выражают через
начальные параметры. В этих соотношениях будут содержаться величины и0,
ип, N0 и Л'п, ич которых какие-либо две равны нулю (в закрепленном
сечении и - О. в свободном сечении N = О), уравнение частот получают из
условия, что остальные две из указанных величин не р.ишы нулю.
292
Свободные и вынужденные колебания стержней
Пример 2. Определить собственные частоты колебаний стер": |*иного на рис.
1.
Соотношения (16) дают
ft'oQ
pEF,
Здесь учтено, что и0 = 0; второе выражение (16) должно Сыть равно нулю
(так как ,?* = 0), т. е,
", СГ\ у _?^i - 77 v
Рнс. 1
Ч астгп н ое у р а он ен не н я eei вид
Если на общей границе двух соседних участков расположена сосредоточенная
масса rns, то при переходе через этот участок продольная сила Л'
претерпевает разрыв, равный силе инерции, развиваемой массой nig.
N. - A;_ +msp2w;
(18)
здесь индексы минус и плюс соответствуют сечениям, расположенным
непосредственно левее и правее границы.
Пример 3. Определить собственные частоты стержня, показанного на рис. 2.
Согласно соотношениям (16) и конце первого участка
Nqti t. PEF I 41 = N cos
Pit, . Pit
в соответствии с формулой (13) в начале второго участка = "о cos -^ + "У
sin III.
В конце второго участка Ns = О. т. е. по выражению (17)г
NqFt
Ft
отсюда следует частотное уравнение
Свободные колебания (точные исследования) 293
В задачах о крутильных колебаниях аналогично соотношениям (16) и (17)
получаем
pCJp
pi.
sin J-L +<p0co$
a 1 TU a. *
Mt - Mb CDS ~ - <ffl pEF' Sill -
(10)
- Mta . pi, pi.
,f* = 7-?r7sln a AT^ /,r,cos ri-rPl^isln &
(20)
и т. д.
В сечениях, где имеется сосредоточенный диск, обладающий полярным
моментом инерции /5, следует у чес г ь разрыв в значениях крутящего
момента М: _
.\h=M_-rJsP2<Ps (21)
[см. пояснение к выражению (18) |.
Пример 4. Составить уравнении частот для нала, показанного ка рис. 3. На
левом конце вала Мл - 0; поэтому но выражениям (10)
Тс ~ ^GJp yi/
М. = -?о -sin .
На нравом конце М{+ = 0; согласно выражению (21)
- PGjp .pi , "- pl -Ф" --L яп _ + V*g-0 cos - - 0
Условие То -к 0 приводит к частотному уравнению
отличного от нудя корня этого уравнения еле-
- 0 0,5 1,0 .0 со
Р>1 3.14 4.20 ¦ .50 4.09 4.71
294
Свободные и вынужденные колебания стержней
Изгибныс колебания сгержнегё
Дифференциальное уравнение изгибных колебаний стержня постоянного сечения
имеет вид
EJ 0iv dzv
¦ + = I".
дх4
dis
(22)
в котором v = v (л, 0 - прогиб текущей точки оси стержня; EJ - нагибная
жесткость сечении балки; т - интенсивность массы балки (масса единицы
длины).
Частное решение дифференциального уравнения (22):
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed