Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
/
; 1 1 -----------------------------
и 200 4S9 ?L
Свободные колебания (тачные исследования) 303
г.д-- /г - номер пролета, сок падающий с номером правой опоры данного
пролета. Если жесткость и интенсивность распределенной массы одинаковы во
всех пролетах, то в уравнении (34) сокращаются все множители -Если, кроме
того, все пролеты имеют равные длины, то уравнение (34) приобретает вид
Мп-Уп + 2Мп (TnU" - + Mn+1Vntl = 0. (35)
Пример 6. Составить уравнения частот двух пролеткой балки с постоянными
жесткостью и интенсивностью распределенной массы, но с разными длинами
пролетов /t и 1г В данном случае Л1 ь - М 2 = 0 и по уравнению (35)
получаем
sh aAj I os al, ел v.lt 'in 0.11 - -h a/s cos gj21 __
| 2 sh asin alt * ЧЬ а/. чп als
Так как M, =t 0. то нулю должно равняться выражение, стоящее н скобках.
это даст
ctg halt -I- ctg ha/г - cts a/t - с i-т a/,.
Например, при /, = ls наименьший корень 0.1 1.78.
Влияние заданной продольной силы. Если стержень испытывает действие
продольной силы А7, то дифференциальное уравнение его сво-Оодпых
поперечных колебаний имеет к ид
EJ д*е , с)2и Л" дР-о п
ТТ ¦ -Ь - 0. (36)
m с)х4 dt- /п дх- 4 7
причем положительной считается сжимающая сила ,V.
Собствен пая форма колебании определяете а выражением
X (х\ = Сх bli p.t -ф С2 ch Р v + С3 sin yv С4 cos уж, (37)
N . : 1 j _L • "ЧГ-0*
EJ I/ 2'+ I 4 ,V- '
(36)
Величину a определяют по формуле (27). Себе шейные частоты р* шарнирно
опертого стержня вычисляют но (}прм>ле
1 -h , (39)
к-л-и v
в которой pit - k-я собственная чае то и ттри X - 0.
Низшая собственная частота колебаний нонсо.'ьного стержня,
натруженного на свободном конце сжимающей силон .V,
¦и., м0>
Если консольный стержень нагружен равнииерно распределенной продольной
нагрузкой, то низшая собствен и, я частота колебании
р\ - ft у
-р. 1
304 Свободные и вынужденные колебания стержней
В формулах (40) и (41) р, - низшая собственная частота шлебякий
консольною стержни без продольной нагрузки.
В некоторых случаях продольная сила возникает вследствие изгиба стержня и
носит характер реакции. Это явление нелинейно по своему' существу, и
собственная частота зависит от амплитуды колебаний. Для стержня с
шарнирно неподвижными опорами на копнах fe-ю собственную частоту
колебаний находят по формуле
pI^Pi,*, 1">
где и - поправочный коэффициент, зависящий от о i ношении амплитуды
колебаний а к радиусу инерции поперечного сечения р; значения к даны в
табл. 10.
10. Значения коэффициента V. а формуле 142)
-jr У. Р Р X
0 1 0,8 1,058 3 1,626
0.1 1,000В 1 1,089 1 1,976
0,2 1,0038 У5 1,140 5 2,35
0,4 1,015 2 1,316 10 4,75
0,6 1,038
При р -*¦ 0 формула (42) дает неопределенное значение для /г:, и к как р
= 0 и к = со. После раскрытия неопределенности получается выражение для
собственной частоты колебаний струны, начальное натяжение которой равно
нулю:
а I / EF С1 V т *
(если начальное натяжение велико по сравнению с его изменениями при
колебаниях, следует пользоваться схемой & табл. 2).
Влияние едкиюв и инерции вращения. Эго влияние особенно заметно при
колебаниях стержней небольшой длины. Дня шарнирно опертого стержня
собственные частоты определяются формулой
т[>+р+5?] * уо+р+да'1^.
(44)
л- * / EJ
где я, = -,-г- {-------низшая соосгненнан частота, вычисленная
I- F т
без учета сдвигов и инерции вращения; л - гибкость стержня;
Р - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (для примоуюльнон
формы сечения (i - 1.2).
^=-ЬЁ'
k - число пол у нол н, которые образует ось стержня при колебаниях.
Свободные колебания (приближенные исследования)_______305
Формула (44) определяет два значении собственной частоты, отвечающих
данному числу к полуволн. Низшее значение соответствует такой форме
колебаний, при которой поперечные сечения поворачиваются в ту же сторону,
что и касательные к изогнутой оси; второе значение соответствует
противоположным направлениям поворота сечений и касательных к изогнутой
оси.
Собственные частоты, полученные ио формуле (44), приведены в табл. 11.
11. Собственные частоты д.]ч шарнирно опертого стержня
(при = 2,6 И 1,2)
к Рнизш рвысш
Pt Pi
1 0,98 70,0
2 3,74 73,6
3 7,92 78,2
4 13,08 84,0
5 18,77 01.6
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)
Приближенные способы применяют при анализе колебаний стержней с перемен
пой жесткостью и массой.
Способ замены распределенных параметров сосредоточенными
Этот способ допускает два варианта. Согласно первому варианту
распределенную массу (рис. 5, а) заменяют несколькими сосредоюченными
(рис. 5, б). Второй вариант предполагает замену стержня упругой шарнирной
цепью (рис. 5, в), каждое звено которой совершенно недеформируемо, а п р
и п всыпаем ые ша р и ирам
коэффициенты ир\ гости выбирают из условий дос[атомной близости общих
жесткостей заменяемой и заменяющей систем.
В обоих вариантах задача сводится к рассмотрению системы с конечным
числом степеней свободы и, следователь но, позволяет найти лишь несколько
