Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 76

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 165 >> Следующая

М., "Наука". 1964.
19. Shock and Vibration handbook, N. Y. 1961, v. 1.
См. также литературу к гл. 5.
Глава 5
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ) Общие сведения
Ниже рассмотрены задачи о колебаниях стержней, представляющих собой
систему с непрерывно распределенной массой. Такая система с
распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы и,
соответственно, обладает бесконечно большим числом собственных частот и
собственных форм колебаний.
Собственная форма колебаний А'* (х) представляет собой функцию координаты
х сечения стержня, описывающую конфигурацию системы при ее монога рмо ни
чески х колебаниях с собственной частотой р*. Такие колебания называют
главными, они происходят по закону
qh (*, t) = Xb (лг) Tk (/), (1)
i,':L
TkV)~Ak sill(fV -1-ед (2)
есть функция времени, содержащая постоянные А и и <р^, связанные с
начальными условиями. При этом qk(x, О имеет смысл характерного
перемещения сечения: продольного перемещения uk (х, t) в задачах о
продольных колебаниях, углового перемещения (х, f) в задачах о крутильных
колебаниях или поперечного перемещения о* (х, 0 в задачах об изгибных
колебаниях. Колебания типа (I) возникают при специальном задании
начальных условий (см. ниже); при произвольно заданных начальных условиях
колебательный процесс представляет собой сумму главных колебаний
</(х, /) = V Afttx) Tk {/)• (3)
Собственные частоты образуют бесконечный спектр рл, ра, . . ., цифры,
стоящие н индексах, располамюг так, чтобы выполнялись неравенства
Pi < Ра <- Ря <---------------------- (4)
2S6
Csjfryj'iUi' u oi/jit!*, упнъе колебания стержней
В задачах о продольных или поперечных колебаниях собственные формы
удовлетворяю!' делениям ортогональности
i
f т и) X; (х) Xk ( ) dx = 0 при / Ф ft; (5)
0
здесь т (х) - интенсивность распределенной массы стержня. Если кроме
распределенной массы со стержнем связаны сосредоточенные массы ms,
расположенные в сечениях с абсциссами xs, то условия ортогональности
имеют вид I
j т (х) Л, (х) Xk (х) dx + ^ msXi (xs) Xk ixs) = 0. (6)
о s
В задачах о крутильных колебаниях условия ортогональности принимают форму
i
|/<х)Л,МЛ*(*)Ас-0. (7)
(I
гдр / (ж) - полярный момент инерции единицы длины стержня относительно
его оси.
11ри наличии сосредоточенных по длине стержня дисков с полярными
моментами инерции /5, расположенными в сечениях с абсциссами xs, условия
ортогональности имеют вид i
\ / (ж) Xj (ж) Xk (X) dx I- ^ /sXf (xs) Xk <xs) 0. {Я)
0 ft
Масштаб собственных форм колебаний может быть принят произвольно. Удобно
выбрать этот масштаб так, чтобы выполнялись условия нормирования
1
J т W Х\ И dx + 2 т$Х) (*s) = 1 I9)
О 5
(в задачах о продольных или поперечных колебаниях);
/
(' / (х) X; (х) dx -f V /sX] (х,) = I U0)
5 S
(н задачах о крутильных колебаниях).
Уллами ft-й собственной формы называют неподвижные сечения * стержня,
совершающего ft-e главное колебание с частбтой pk- Число
у <лон /г-н собственной формы равно ft - 1; узлы двух смежных собсп синих
форм перемежаются.
• Кроме сечений, неподвижное >ь коюрых обеспечивается наложенными сн"ия
мн.
I
Свободные колебания (точные шследования)________________287
Продольные и крутильные колебания стержней; поперечные колебания струн
Оаговные соотношения при продольных и крутильных колебаниях стержней, а
также для поперечных колебанй струн приведены в табл. I (сечение
постоянное, масса распределена равномерно).
Обозначения: F, Jр- площадь и полярный момент инерции поперечного
сечения; р, Е, G - плотность и модули упругости материала стержня; и = и
(х, /); v = v (х, О, <р =¦ <р (х, t) - продольное и поперечное
перемещения и угол поворота текущего поперечного сечения х в текущий
момент времени f; m*, Jv - масса и момент инерции груза, соединенного с
концом стержня; с - жесткость упругой связи, находящейся на конце
стержня.
Для определения спектра собственных частот нужно записать граничные
условия в развернутой форме; при этом образуется однородная система двух
уравнений относительно постоянных Cf, и Du- Далее формулируют условие
существования ненулевых решений для С* и D*. Таким образом, получается
уравнение частот; корни этого трансцендентного уравнения и являются
искомыми частотами После эюго образуются собственные формы колебаний.
Пример 1. Определить собственные частоты н формы продольных колебаний
консольного стержня (левый конец х = 0 закреплен, правый конец х - = I -
свободный).
Граничное условие на левом конце:
X (0) = = О
Граничное условие на Ираном концс-
Pk Pkl
Х' (0) = Cb - cos -2- = 0.
4 а а
Частотное уравнение
Собственная форма колебаний
Результаты для различных комбинаций граничных условий даны в табл. 2
(данные относятся как к продольным, так и к крутильным колебаниям).
В задачах о колебаниях стержней со ступенчатым изменением поперечного
сечения, а также в случаях, когда со стержнем связаны сосредоточенные
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed