Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(65)
В случаях изгибных и продольных колебаний величины V,/, можно определить
также соответственно по формулам l I
MfMfedx . v [ NjNkdx
EJ " th " J /.F *
V,* - J
(66)
причем изгибающие моменты Mi и Л?* н продольные силы Л?,* и А'*
определяют от нагрузок mXi и mXk-
Метод Галеркина
Как и по методу Ритца, по методу Галеркина можно получить несколько
низших частот. Согласно этому методу образуют последовательность функций
Xj (ж), Х2 (х), . . Хп (х), удовлетворяющих как кинематическим, так и
динамическим граничным условиям, затем определяют значения Tik по первой
из формул (62), а также, величины
dx
(67)
(для случая изгибных колебаний).
После этого получается уравнение частот в виде
Ты? T"p*-Wl2
5"alp2 - \Г2" T**p*- W"
¦ • . ТщР2 - И-'n • , TunP- - 4"'¦*
Тщ? - Г"р* - tt";. , r""p' - Г"
(68)
314
Свободные и вынужденные колебания стержней
П случае продольных колебаний
в7ik=-\(EFX])'Xkdx, (69)
а н случае крутильных колебаний
I
( (ЫрК)'Xbdx. (70)
Оценки С. А. Бернштейна
Для определения границ, между которыми располагается первая собственная -
ас гота, можно использовать формулу С. А. Бернштейна
(71)
1гв, ' в^Сяв.-и*
I
Bt I т [X) 6 (х. х) (!х + rnLb (x,. xt);
0 *
\ I rn (x) m (si 6 (x, s) dx ds -+- (xt, xk).
(72)
Вторая формула С. А, Бернштейна 2
дает оценку для нижней Гранины второй собственной частоты.
&> гг -г "73>
*/ or "
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Гармоническое возмущение. Замкнутая форма решения
При ДСЙС1ВИИ гармопнческсич) возмущения (силового или кинематического)
стационарный процесс представляет собой гармонические колебания с
частотой возмущения to.
Продольные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных продольных
колебаний стержня постоянного сечения имеет вид
sin со/, (74)
Ohi 1 dhi _ Р (х) ~dx^~r~af' dt* ~ Ff
где Р (х) sin м/ - интенсивность возмущающей силы.
Решением дифференциального уравнения в частных производных (74) служи [
выражение
и - U (х) siti со/. (75)
Вынужденны? колебания
315
где форму колебаний определяют ш обыкновенного дифференциального
vравнения
и виде
U = A sin - + В cos + -?у j Р (х) sin - -(-~И di- (77)
Постоянные А и В определяют из граничных условий на концах стержня.
В тех случаях, когда возмущающая сила не распределена непрерывным
образом, а приложена в нескольких сечениях, уравнения (74) и (7G)
становятся однородными (для каждого из учаахов, свободных от нагрузки), а
возмущающая сила входи г в граничные условия.
Пример В. Определить динамический коэффициент для консольного аержц",
свободный конец которого испытывает действие продольной силы
Р - Р0 sin саД (78)
Поскольку распределенная возмущающая нжрузка orcyi стмует, по фор-куле
(/с) находим
U = A sin х В соэ х. а а
Из граничных условий
U (II) -- С; (/'(О - -Ос-
Получаем
Я Р'!а г%
ыПр с
V = -
Амплитуда колебаний конца сюржпя
[''|')=-ггг'"тг- 1714
Следовательно, динамический коэффициент будет
4)1 71 3 Л 5JT till
и --тр, --, . - ¦ нащупает резонанс, а при -= я, 2л,
внешней силы остается нено-
Крутильные колебания. Закономерности крутильных колебаний ч шсывают темн
же соотношениями (74)-(77), если заменить линейное смещение и (х, t) на
угол лоно рога ц (лг, /), распределенную продольную нагрузку Р (л:, t) -
на распределенный крутящий момент р (х, t)t у также если под U (х)
понимать функцию, определяющую амплитуды колебаний углов поворота
сечений.
316 Свободные и вынужденные колебания стержней
(случай гармонического к и нема! ического возбуждении), b данном случае
распрадел! иная возмущающая на! рузкэ отсутствует и поэтому по формуле
(77) имеем
U =- Л sin В cos -
а а
Граничные условия
U (0) = Л0; W (/) = 0
позволяют найти
Л = Н-А,.
Следовательн о.
. I . Orf сол- ых 1
О ="Л0 МП I COS
В частности, амплитуда колебаний свободного конца
см.,--^ (81)
cos ---
всегда больше амплитуды заданных колебаний левого конца вала. Резонанс
наступает при я. 2я ...
Изгибные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных изгибных
колебаний стержня постоянного сечения
, jn_ Q И sin <о/
дх EJ ' dt* ~~ EJ * [ >
где q (х) sir. mt - интенсивность распределенной возмущающей на-
грузки.
После замены
V (A', t) - у (A) sin &t (83)
уравнение (82) принимает вид
При сосредоточенных возмущениях дифференциал ьное уравнение (84) на
каждом из участков становится однородным, а возмущающие силы входят к
граничные условия (или условия сопряжения участков). В этом слу ие
у = С]5 (ал') -р С'/Г {ах) -j- C3U (ах) -J- С4К (ах), (85)
где Cj - С* - нос юяиные, определяемые граничными условиями;
S, Т, U. V -функции А. 11 Крылова (см. табл. 4).
Пример 11. Определить прогиб свободного конца консольной балка при
действии ни него возмущающей силы P0siu<of.
Граничные условии <н сы-то координат па левом свободном конце)
у" ( ) - <>; 4Г <е> - -
у (б •= о. у¦ (О = о.
Вынужденные колебания
Условия на конце х = и да юг
?" а* = С; C""s
= 0; С.- *
i*LJ
С учетом этого, услоиия на конце х = I приводят к соотношениям CXS (al) -
