Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
запишутся
fo* ^ ЙТ 1 п П- 01 да" 1 аИ" Ч" - П.
"аГ ТС Х(r)* ' йГт?~ Ж~лГ + ~1Г-0'
[- qi = О
где
О* My , h
ду* ' R
Объединяя их, подучим
Соотношения закона Гука имеют вид
Е FH3
о" - ' ¦ я L ' 12(1-v^ry'<'- (25)
^ х а У
Вводя переменные а - -- , |j - -п- и пользуясь оператором
" К
(26)
Q_J!_ .Л.
г;р4 ар2 ' уравнения (22) и (23) приводим к виду
Я"х - Ш . 0; Rll 4- ОМ. =. №*, (27)
hJ da2 t)o2
где
p* Ъх_, ^jJL _ *"1 /281
da + ар dp2 ' ( )
Исключая Ov н используя выражение (25) для My, получаем, после исключения
оператора "Ь * )• следукши* дифференциальное урав-
нение для решения задач устойчивости:
rflw д2Р*
DOG* - Eh* - -F* . (29)
Уравнением (291 следует пользоваться при исследовании устойчивое i и
оболочек средней и особенно большой длины н случае слабо выраженного
волнообразования по длине оболочки.
Линейная мори и дает возможность исследовать устойчивость оболочки в
мялом. Полное решение задачи, включающее исследование потери устойчивости
оболочки в большом, может быть дано с позиций нелинейной теории. Приведем
соотношения, относящиеся к оболочке большого прошва. Будем исходить из
гого вариаша теории, в котором оболочка ечн laeicn полоюй, по крайней
мере, в пределах отдельной
ИМЯ ГИЛЫ.
134
Устойчивость оболочек
Дополняя соотношения (2) нелинейными членами, получим следующие выражения
,1ля деформаций в срединной поверхности:
ди I / dw \2
е'=аТ + -2-(аг) :
I / дги \2 Г 2 ;
. -
^ г)п
R
dv ^ (<~^ да> ду ~r dv 1 дх ду
(30)
Уравнение совместности деформаций принимает вид
д-с* д-Су
др + ГГ~~
дч
дхду
1 , $ Л"
"к'' -ТГа?--
(31)
где L (ьу, ц!) - оператор,
^-*[?-?-(тгаг)!]-
Изменения кривизн и кручение срединной поверхности определяют по формулам
(3).
Соотношения Гука (8) остаются прежними. Первые два уравнения равновесия
отвечают соотношениям (5), третье уравнение равновесии принимает форму
dQx . dQy . д2и> . , ( 1 , д1то \ ,
ИГ ' -дГ + Вх аГ+^'Ы '-
+ (tm)ПП7 + < = 0- (33>
Для поперечных сил справедливы соотношения (10). Подставим эти выражения
в уравнение (33), а соотношения (14) - в уравнепис (31), тогда, вводя
функцию напряжении по формулам (16), уравнения (33) и (31) приводим к
следующему виду:
(34)
^=.{1(В,В)-|Л. да
Оператор L в применении к функциям ш. О"
Устойчивость оболочек в пределах упругости
135
Если оболочка до нагружения имеет начальные прогибы w0 (я, у), то
выражения для деформаций получают вид
Р , _L( <te_X2 1 (<ьъ\2.
* _ ax + 2 V dx ) 2 v dx ) •
dv I , . I / dw \2 \ / dw0 \2
- dy W ' 2 (ф-) 2 ( dy ) : (37)
du Ov da? dw _ dta" dt^ _
^- djT dx ' dx ф dx dy *
здесь к? - полный прогиб. Повторяя вывод основных уравнений,
вместо выражений (34) и (35) получим
-^-V*(w - k"0) = ?(*', Ф)(38) -1- у^ф = LIZ. (и, ш) - L ("•". ю") J - Jr
- "to)- I39)
При интегрировании приведенных выше линейных или нелинейных уравнений
необходимо удовлетворить граничным условиям. Для торцовых сечений
замкнутой оболочки эти условия формулируются так: при шарнирном опирании
оболочки по краям х -= 0, х = L (направление координатных осей
соответствует рис. 3) для точек краев должно выполняться условие
д'ш г,
tv = U, -.-о - - 0;
dx3
при защемлении оболочки по краям
К.--0. ^=0.
дх
Приведем условия, касающиеся перемещений и, v, а также усилий в срединной
поверхности. Если точки краев свободно смещаются вдоль образующей н по
луге, то в этих точках должно быть
В случае нссмсщающнхся кромок следует положить и = 0; v -- 0.
Замкнутые круговые оболочки
Сжатие замкну той оболочки вдоль образующей. Рассмотрим замкнутую
круговую цилиндрическую оболочку длиной ?, шарнирно опертую * по торцам,
подвергающуюся сжатию вдоль образующей усилиями р, равномерно
распределенными вдоль дуговых кромок (рис. 4).
Обозначении: R - радиус срединной поверхности оболочки, й - толщина
оболочки. Исследуя устойчивость оболочки в малом, определяем верхнее
критическое напряжение; при эти исходным
• Обо311пчп1и "а счсмач закрепления краев см рис 2, гл. 2.
136
Устойчив* ть oOo.-o-.'K
является дифференциальное уравнение (21). Для рассматриваемого случая оно
принимает вид
D 8 , Е - V"w +
/У* дх4
+ PV
(40)
Приведем первый вариант решения, в котором предполагаем, что поверхность
оболочки после выпучивания является осесимметричной, т. е. что поперечные
сечения остаются круговыми. В этом случае прогиб w будет зависеть только
от х\ уравнение 14С) переходит в следующее-D d*ii) dn io Е d*w А
Л*-в У Р Л*I ffi ' Л*А ¦ 0 ( )
(\х*
<ir;
дх*
В соответствии с граничными условия ми принимаем выражение для прогиба
117 ЛХ
w~f bin -
(41а)
где т-число полуволн изогнутой поверхности но образующей оболочки.
Подставляя выражение (41а) в уран-нение (41), находим 11 ]
rtiaR nR _ .
-- = -j-. Приравниваем нулю производную от р по А; А 'X
при этом считаем т ;> 1. Получаем следующее выражение для А:
здесь А =
>. = тТг (I - v2)
I
142а)
Подстановка выражения (42а) в формулу (42) приводит к следующему значению
нерхкего критического напряжения ру
