Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
значительною числа экспериментальных данных, приведены ниже.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ Основные уравнения для круговых оболочек
Обозначения; h - толщина оболочки; L - длина оболочки; R - радиус
кривизны срединной поверхности. Положепие любой точки срединной
поверхности определяется координатами х, у\ координа i у х откладынанл по
образующей, у - по дуге (рис. 3). Перемещения точек срединной поверхности
вдоль координатных линии х, у и вдоль нормали обозначают соответственно
через м. v, iv (положительными считаются прогибы ш, направленные к центру
крннизны).
Рассмотрим вначале упрощеииый рариаит линейной теории, относящийся к
случаям, когда выпучивание оболочек сопровождается появлением
сравнительно мелких волн, размеры которых, хотя бы н одном направлении,
малы, по сравнению с ратмерамн оболочки.
11рн этом оболочку и пределах каждой выпучины можно рассматривать как
пологую. При потере устойчивости с образованием осесимметричных вылучин
Длина их должна быть мала по сравнению с. длиной оболочки. Если же
вмятина занимает всю .'.ишу оболочки, то число п воля, образующихся нчоль
окружности, должно удовлетворять условию п 4. Практически это условие
выполняется и различных случаях нагружения оболочек средней длины
Параметры оболочек средней длины должны удовлетворять условию
I г
л
(и
130
Устойчивость ctrj.w \<к
Выражения для деформаций удлинения в срединной поверхности гх, е.у и
деформации сдан га у имеют вид
dv w
ду
ду
~дх'
(2)
Изменения кривизн к*. ку и кручение уу определяют по формулам
d2w дх1 '
0Чр ду - ¦
X------
d-w
дхду
Уравнение совместности деформаций запишется в виде 0ЧХ 1 дг?у д2у _ I д'-
ш
_________________________
ду2 дх- дх ду R
дх* '
13)
(4)
Тогда уравнения равновесия в проекциях на ось х, касательную к линии у и
на нормаль запишутся следующим образом: дох , дх Л дг , да и
дх _ ^ &i , (Юу _
дх ду ~~ ' дх ~г ду ~~ '
dQx
дх
dQy ho у
ду ~7Г
-1-е =0.
где q - интенсивность поперечной нагрузки. Уравнения моментов получают
форму
дМА . дН " Л дИ . дМу ду
дН _п _п_ ОН ,
дх 1 ду • дх
- QV _ 0.
(5)
<6)
(7)
Соотношения между деформациями и напряжениями в срединной поверхности
Е
Сд = tejf - vtv);
<Jy =
(в, -I- vejr):
П
2(1 +V.
(8)
Зависимости между моментами и изменениями кривизн имеют гот же вид, что и
для плоской пластинки:
д2W , d'zsj '
I дх2 ^ ду2 )'
. / д-w д'-w \
И =¦ -D(l -
ffha
V Ox-dkv
Ox dy '
(0)
Устойчивость оболочек в пределах упругости
131
/>"- ?Vl"
12(1-v3)
Из уравнений (7) определяю г поперечные силы QK и Qy.
Ox =- -D-
здесь у2-оператор Лапласа,
а^ а3
Яу-1 ' л"2 ¦
(10)
(11)
Подстановка выражений (10) в уравнение равновесия 16) приводит ь
следующей зависимости:
А ' R h где v4 - двойной оператор Лапласа,
о* а*
дх2 ду* ду*
(12)
(13)
Исходя из соотношений (8), выразим деформации через напряжения 1
• -jr (Ох - vct^); 1
-io"~ vc*>;
Y -
2т (1 -v)
/:
(!¦"
Подставляя выражения (14) в уравнение совместности дефор ма-ШГ (4),
получим
1 Г &Ох о a^t О'-Ьу / rpQx . о дЪу \ | _
" дхду + 0х-~ \ дхг + d*a"/ ^ а*/2 Л
ду2
1 а'-ии " Я" ' дх* '
(15)
Lc.ni ввести функцию напряжении в срединной поверхности Ф и*, формулам
д-Ф u'hi а2Ф
а"/2 >
ал-а"/1
(16)
132
}> стсСмиыл'ть оболочек
то зависимости (12) и (15) можно представить н киле
D . 1 Д2Ф <у
1Гv Х'~1Г ~дх2 1Г ; (17)
1 1 &"¦' Е v R * Ох2 •
(18)
При решении задач устойчивости в уравнение (17) нужно подставить вместо q
фиктивную поперечную нагрузку qv, равн\ ю сумме дополнительных проекций
основных усилий рд, ру, <? на направление нормали (усилие рх действует
вдоль оси х, усилие ру - вдоль касательной к линии у, усилия s -
касательные):
л . ( d2w d*w d*w \
Положительными считают усилия, способствующие увеличению параметров
кривизны; в отношении рх н ру положительными считают усилия сжатия.
Подставляя выражение (19) в формулу (17), получим D . 1 <>*Ф ОЧа
сРкт 0 iJhv
Т ~дх? ~дхду~ш -Я)
Применим к уравнению {20) оператор V4, а к уравнению (18) -
I (V
оператор , тогда выражения (20) и (18) приводятся к одному
разрешающему уравнению
D - . Е д% . (д2ю \ , / O'to \
t5Stfv+mVJ- +
1 2*'(~Шг) "а |21)
Приведем другой вариант уравнений линейной теории оболочек, относящийся к
случаю слабо выраженного волнообразования по длине оболочки. В этом
варианте срединную поверхность принимают ке-рзсткжимой в дуговом
напранлемии (ev = 0); считают, что сдвиги в срединной поверхности
отсутствуют (у =" 0). Поперечные силы и изгибающие моменты в осевом
направлении, а также крутящие моменты полагают Ох - Мх - И - 0; учитывают
только усилия Oij н Му. При таких условиях справедливы следующие
соотношения:
Отсюда
w \ аз _ tv с)и _ ov ду2 I?2)' Ну 7Г* ~оу ~ Их '
tfitx 1 ггк.1
~ ~ ~W ' "За3 '
Уравнение совместности деформации получает вид t)V г 1 сЯсд d-sy
Устойчивость оболочек в пределах упругости
133
Приходящуюся на единицу площади внешнюю нагрузку вдоль оси х, ьасаюльноч
к линии у и оси z, обозначим черея gXa ду, дг. Тогда >равнения равновесия
