Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, если
2e Vrwa(>)B < I t->u - Op I.
то значения уо0о оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с главными
элементами матрицы вторых моментов.
Если демпфирование мало, то для средних квадратов обобщенных координгл
может быть дана приближенная формула
я %"0и(И") (31)
ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
СИСТЕМ
Уравнения колебаний линейных распределенных систем. Эти уравнения могут
быть записаны в виде
Lw q\
здесь w (х, у, г, t) - век гор перемещений; q for, у, г, f) - вектор
нагрузок; I. - некоторый линейный оператор. Пус i ь компоненты вектора q
являются случайными функциями координат и времени с известными
вероятностными характеристиками. Задача состоит в определении
вероятностных характеристик вектора w и его производных по координатах! и
времени. Для простоты в дальнейшем будем рассматривать уравнение
Lv-q, (32)
где и и q - скалярные функции координат и времени. Уравнение (22) можно
трактовать как "разрешающее" \равнение в icopmi колебании стержней,
пластинок н оболочек.
Сведение к системе с конечным числом степеней свободы. В соответствии с
эIим методом перемещение и представляется в виде разложения в ряд по
формам собственных колебаний по собсшенным функциям *Г" (*• У> г)
оператора L
и j] "и (<№(*. У- *)¦ О3)
532
Статистичгсми лаоачи колебаний и устойчивости
После подстановки ряда (33) в уравнение колебаний (32) получаем
бесконечную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Корреляционные функции обобщенных сил Qa (/) опреде-л яю гея соотношен и
я ми
^ ,, 1 i s/i> *i. " 'а. У-2> *а) >*
° В Л'и\р i1 г
'¦ Ч а(л'1! .Vi ¦ ^i) Чв (?-a- Уг, zs) ilSi tlS.2', (34)
здесь Kq - корреляционная функция нагрузки, i. е.
Л? - Ч (*1, 1/1. Zi, М q(x2. У., гг, (.) ; (35)
v0 - нормы co6ciвенных функций <ра (х, у, г). Интегрирование ведут по
загруженной поверхности чела S.
В случае, когда отсутствует точное решение задачи о собственных
колебаниях, функции qa (*. У, г) могут быть иайдень; приближенно либо
при помощи вариационных методов, либо на основании теории
динамического краевого эффекта (5]. Применение последнего метода
к задачам случайных колебаний стержней, пластинок и пологих оболочек дано
в работах (5, 7, 14, 39J-
После нахождения моментов обобщенных координат К,. можно
V|i
определить моменты других параметров, выражаемых через обобщенные
координаты. Например, средний квадрат s1 некоторого фактора s о предел я
кл по фор ч уле
's ~ Ё i cucfiKwa. <зб)
а -=1 р-1 й
где са - коэффициент илняння, входящий в формулу дли фактора ь
scupn.
U-1
Нагрузка, которая является стационарным временным случайным процессом. В
этом случае корреляционные функции (3-1) и (35) зависят от временного
интервала т = t.L - tv Если выполняется условие эргодичное! и. го можно
ВВСС1И преобразование Фурье по времени от Kq-
Ф?{*1. и(, г,: **, Уг, г.,; со)
| Уг, Z|i *". Уг- V. г) "-""А. (17)
Функцию Ф{/ будем называть спектром пространственных корреля-
ций. Взаимные спсюральные плотности Ф(, q обобщенных сил иыра
жаются через спектр пространственных корреляций следующим об разом:
J f Ф-- (А1 • '>'¦ 'г- ">
" В АЛ
X Ча (Л1- Ун г")Чр [х.,, i/о. г-,) JSl (38j
Корреляционные методы исследования распределенных (истец 533
Статистические характеристики случайных нагрузок. Дли решек is я
практических задач в рамках корреляционной теории необходимо знать
математическое ожидание q {х, у, г, () и корреляционную функцию Kg {xj,
у|" 2Ь ti, х2, уг, z2, tz) нагрузки или н случае эргодичес-ко й ста цио н
а р ной на гр у зк и - спектр прог i ра нствен н ых коррел и ци й Фд {хА,
yt, zL; х.,, ys, г.,', (c)) В случае нагрузок, вызванных ак\сти ческими
шумами, турбулентными пульсациями давления в пограничном слое,
нерегулярным волнением мори, спектры давления в сдельных точках
поверхности находятся из эксперимента. Соответствующие данные приведены в
работах [17, 19, 42. 43, 571 В задаче о движении автомобиля по неровной
дороге спектр возмущений может быть вычислен по спектру длил воли
неровностей, определенному путем геодезических измерений.
Полное экспериментальное определение корреляционной функции или
спектральной плотности пространственно-временного случайного процесса
связано, как правило, со значительными трудностями. Поэтому для
приближенных оценок обычно используют простейшие аналитические
зависимости. Некоторые из них указаны ниже.
Дельга коррелированная в npocrpaiiciRe нагрузка. Это предельны" случай
нагрузки с весьма малым {по сравнению с длинами волн возбуждаемых форм
колебаний) масштабом пространственной корреляции. В этом случае Ф*(*п Уь
хг, у... гг: со)
- Т ((c)) 6 (х* - *0 6 (Но - yi) 6 {z3 - zj, (39)
где Ч' (to) - заданная функция частоты; б (х) - дельта функция. Пон
использовании такой модели весьма упрощаются вычисления. Например, для
спектральных плотностей Фп (<и) в случае ортого-
сс
нальных форм собственных колебаний получаем? чп>
Ч-г Гsol
фо п И -- • (40)
