Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
решать задачи теории колебаний распределенных систем, не прибегая к их
замене дискретными системами, разработаны еще иедрыаючно. Наметим идею
одного из таких методов. Вернемся к уравнению (32) Допустим, что оператор
L является линейным оператором по переменным х, у и г и линейным
диОДнфснциальным оператором но времени /; при эюч время l явно н
выражение для оператора не входит. Предположим, что оператор /. переводиi
любую "функцию q с ограниченным квадратом в функцию v>, квадра| которой
также огра ничем. I3o.ti.uh¦ никаких ограничении на оператор не
накладывается-Пусть, далее, нагрузка г/ является зргодцческой стации мар
ной случаи пой функцией от нреченн /н произвольной случат он функцией с
огра ничем ным средним квадратом от координат а, у, г. По теореме Хин
чипа
Корреляционные, методы исследования распределенных систем 537
существует временное преобразование Фурье о г пространственной
корреляционной функция нагрузки спектр пространственной корреляции (37).
При сделанных предположениях об операторе L существует спектр
пространственных корреляций для перемещений
Ф|Л*1, Ух, *г\ х2, уг, ха; со) =
~~iГ 1 ы' (хь ylt zlt t) w (x2. t/2, z2, t + т)е-1WT dt.
Можно показать, что функции Ф^ и Фи, связаны между собой соотношением
I, (/о) 1а ( - ш) Фщ, = Ф(;, (50)
в котором через Lt (/со) обозначен результат замены в выражении для L
оператора на /со, х на xt, у на yt, г на г,. Через La (-/со) обозначен
результат замены на -- /со, х на ха, у на yit г на zs. Если L является
чисто временным оператором, то L (/со) представляет собой передаточ-ную
функцию системы. Тогда уравнение (50) превращается в зависимость типа
(25) между спектральными плотностями "входа" и "выхода" линейной системы
с конечным числом степеней свободы и постоянными параметрами. Если же L
является пространственно-временном оператором, то уравнение (50) является
Операторным уравнением. Так, если оператор L является дифференциальным
оператором по х, у, г, то уравнение (50) превращается в дифференциальное
уравнение в частных производных относительно функции Фщ, зависящий от
семи переменных хх. Ух, гх, Хо, у2, и со. Граничные условия для этой-
функции вытекают из граничных условий для функции w (х, у, z, t) и
формулы (49).
Решение уравнения (50) может быть найдено по методу факторизации.
Рассмотрим частный случай оператора
1 = и + 2е-4г + Ш' (51)
где L0 - самосопряженный линейный оператор в пространстве координат; е -
положительная постоянная (коэффициент демпфирования). Решение уравнения
(51) имеет вид
у> flcS И Фа (*1. У-l, f/a. г")
j?j (io2-w2+2iew)(wj; - ш2 - й'ею)'
здесь о>а и фи - собственные значения и собственные функции опера-fbpa L0
соответственно; с"р (ы) -коэффициенты разложения спектра Пространственной
корреляции нагрузки Ф^ в ряд Фурье по функциям фа (-"1, ух, г,) <рр (хг.
y.t, гй). Решение (52) совпадает с формальным решением, получаемым в
результате замены исходных уравнений в частных производных бесконечной
системой обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим
применением к ней стандартной
18 1949
538 Статистические задачи колебаний и устойчивости
процедуры статистической динамики. Если оператор L имеет вид. отличный от
оператора (51), то решения, получаемые двумя методами, вообще говоря, не
совпадают.
Метод статистической линеаризации [24, 411. Этот метод нашел широкое
применение в задачах автоматического управления. В задачах колебании
механических систем наиболее распространен следующий вариант метода.
Рассмотрим для простоты случай системы с одной степенью свободы.
Уравнение
где (I - малый параметр, f (t) - стационарная случайная функция, заменяют
эквивалентным в некотором смысле линейным уравнением
Параметры [), ы выбирают из условия минимизации среднего квадрата ошибки
такой аппроксимации. Это условие дает формулы
Для определения средних значений, входящих в формулы (55), необходимо
знать совместное распределение фупкций х, х. В первом приближении в
качестве такового может быть использовано распределение для
соответствующей линейной системы В случае гауссовского процесса f (t) это
будет нормальное распределение. Пусть, например, / (0 - белый шум
интенсивностью D0t а V (х, х) ~ х8. Тогда
Последнее соотношение (56) решается относительно ш2. В результате с
точностью До членов порядка ц2 получаем
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
х + fix -J wgx -I \iV (х. х) = / (/),
(53)
X + pi + "*x-/(0.
(54)
(55)
xV(x, х) = 0; $ = р; xV (х, х) = х* " 3 (х8)8;
о2 = сор 4- Зрх2 " -J- Зр --^-.
2fto*
(56)
Нелинейные случайные кояабанич
539
Результаты исследования уравнения (53) для различных типов функции У (х,
х) и различных возмущающих процессов / (/) приведены в работах [40, 41,
541. В работах [44, 53] даны результат исследований точности метода
статистической линеаризации применительно к некоторым простым системам.
Эти исследования основаны на сравнении результатов с точными выражениями,
