Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Методы оказываются особенно удобными, если нагрузка является гауссонскнм
процессом, а система - линейной. Однако и для ряда нелинейных систем
иногда удастся получить эффективное решение, привлекая методы нелинейной
механики.
В третьей группе методов используют дифферент! а л ьные и иптегро-
дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию функций распределения
случайных параметров во времени. Методы кинетических уравнений особенно
подробно разработаны применительно к процессам без последействия
(марковским процессам). Поэтому область эффективного применения этих
методов - задачи, н которых выходные величины можно трактовать как
компопешы некоторого многомерного марковского процесса. Основное
преимущество методов, ос нона нн дох на рассмотрении марковских
процессов, состоит в возможности непосредственного получения функций
распределения. Одиако реализация этого преимущества может оказаться
невыполнимой из-за трудностей отыскания решений кинетических уравнений.
КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
Предварительные замечания. Квазистатические методы основаны на формулах
элементарной теории вероятностей и не требуют привлечения теории
случайных процессов. Применение квазип этических методов предполагает-
предварительное решение соответствующих детерминистических (статических
или динамических) та дач |3. 4, 25, 28, 501. Приложения квазио этических
методой к различным задачам устойчивости оболочек даны в работах [10, 12,
21-231. Аналогичные методы применяют в теории автоматического управления
и радиотехнике под названисм "методы безынерционных преобразований" [27].
Условия применения квазистатических методов. Эти условия со-• юя Е в
следующем [4J:
1) входные параметры, влияющие на поведение конструкции, могут быть
описаны при помощи конечного числа случайных пели чин U], и., и,п. Цу,
у2, - - -• Яг с известной совместной плотностью вероятности р (иу, и.2, .
. ., ит, qlt q<>, . . ., q,)\ здесь иа -внутренние параметры,
характеризующие (форму и меха ническне свойства конструкции; qn -
параметры, характеризующие нагрузку и другие внешние условия эксплуатации
или эксперимента;
2) выходные параметры, характеризующие поведение конструкции
(перемещения, деформации, усилия, моменты и напряжения), также могут быть
описаны при помощи конечного числа случайных величин ti1} .... оп;
3) у каш иные две группы параметров связаны между собой известными
детерминистическими зависимостями
= и". , и,,,, г/,. qs. . qr)t fu I. И a). (1)
котор ые предт юла га ю г одi юз на ¦ч ними и ку соч и о-неп рерыв н ы м
н.
Определение совместной плотности вероятности для выходных параметров.
Плотность вероятное hi р (ult v2, .... v,i) определяют по m-весшым
формулам для нлошостей вероятности функций случайных
518
Статистические задачи колебаний и устойчивости
величин. В частости, если п ¦*?. т и если соотношения (1) допускают
решение
иа - t'a ft'i, tr2t • • Vn, мд_| и,", fa, q2, • • •" фг)
(o=I. 2........../г), (2)
где Ua - однозначные н непрерывные функции переменных Uj, v2, . ¦. ....
vn, то решение дается формулой [4]
¦ ¦ | Р V-'i. ¦ ¦ С 'г!.
1 <5(^1. V., . . .. U") 1
1 5(<'1. <'!¦ • ... f") 1
du,ui • • • dum dqx • • •dq
(3)
Здесь использовано обозначение дли якобиана преобразования
Ua)
d(vt
dlJy dlf'z dUn
dvt cto, ' ' dv'i
dl! у t)f/o ОС
dv. dv, ' ' ~dv7 (4)
dUy dl/* dvn dv;1 dVn dvrl
Формула (3) может быть легко обобщена на случай, когда функции Ult U.2, .
. Un не являются однозначными (тогда область интегрирования разбивается
на ряд подобластей), на случай, когда чти функции являются кусочно-
непрерывными (тогда плотность вероятное! и для е,, По, . . vn будет
содержать дельтаобразные выбросы) и т. д. Если ¦(ля решения поставленной
задачи достаточно знать моментные характеристики параметров vn. то они
могут быть получены непосредственно усреднением уравнений (1).
Нетрудно переписать форму'лу (3) для случая, когда т <С и <С т г-Если же
п^> т - г, то часть из параметров о2, . . vn будет, очевидно,
функционально зависимой. Тогда можно принять, что п = т 4- г и искать
совместную плошость вероятности для параметров а,.
Вместо формул (2) имеем соотношения
"а - Un (Of. Vt v" ,+r) (a - 1, 2, .... my.
Qu -Oa (Vi. vs, .. , v, mr) (0-1 1. 2. r)
Для совместной ПЛОТНОСТИ P (vу P (t'l. Vi, • PW_r) = имеем
формулу7
= V (Uy ll.ru Q,):
d(Ut U" <?l.... Qr) |
Л 1 d(VL'o. - -1 *'in+r)
(5)
Квазистатичеекие метопы статистической динамики 519
Определение вероятности отказа. Допустим, что области нарушения -
термальных условий эксплуатации принадлежат точки в пространстве i\, v2,
- . Vn, для которых V (0|, о2, . . си) J> 0. Тогда вероятность отказа
(см. также гл. 8, г. 1) определяют по формуле
Р = \ ... \ р (о,. t>2. - - i'"i) dv2 . dvn (f>)
w[-c
Эту вероятность можно пяти и также иначе [4}. Если области Ч* (ylt
о", . о") .> 0 соот"е1сгвуют н пространстве их, ы", . . .,чиот,
i/lt
./г. • ¦> Qr, область Wj (Hj, к2, . . ит, qx ij,, q,) > 0, то
