Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
сдвига во времени. Понятие о стационарных случайных процессах оказывается
весьма удобной абстракцией для описания реальных процессов Статистические
характеристик атмосферной турбулентности, шума двигателей, работающих на
постоянном режиме, волнении моря и т. п. можно считать неизменными в
достаточно широких интервалах наблюдения. Средние значения для
стационарного случайного процесса постоянны, а корреляционные функции
(14) зависят лишь от разностей - /2, tt - (3 и т. д.
В частности, корреляционные функции второго порядка выражаются формулами
Почти все представляющие интерес стационарные сл\ чайные нагрузки
обладают также свойс¦ вом эргодичности. Эго значит, что достаточно
продолжительные реализации этих нагрузок содержат практически всю
информацию о статистических свойствах процесса Для зрголнческих случайных
процессов осреднение по ансамблю реализаций может быть заменено
осреднением по времени. В частноеiи.
Спектральные плотности стационарных случайных процессов. Для
стационарных случайных процессов оказывается возможным ввссш другие
статистические характеристики, обладающие хорошей физической
наглядностью. Составим преобразование Фурье для корреля-
'Ч.'я(т) "Яа т {'+ т)'
(15)
г
СО - lira -f- J Си (I) "в (1 + О it-
(№)
2
(17)
Корреляционные методы
Функции Ф" _ (<о) называют совмесшымн спектральными плот-^
носгями процессом оа (0. Чъ W °ни характеризуют распределение энергии
процесса по частотам н весьма удобны для качественного и количественного
исследовании случайных колебаний в системах Если процесс содержш
периодические составляющие, то спектральные плотное ги будут иметь
особенное hi типа дельта-функций.
Аналитические выражения, используемые для корреляционных функций и
соответствующих спектральных плотиооей некоторых случайных процессов,
приведены в та б л 2. Корреляционные функция
2. Некоторые аналитические г отражения, используемые для описания
корреляционных функций и соответствующих спектральных плотностей
526
Статистические задачи колебаний и устойчивости
[ 1 родо л ж 1'Ниь ] ? Г) л 2
¦s О < - Ксгосл "иконная .рункиия К <т. Сг.егстралыим плотность Ф
{СО)
Klt> (т) К, |
¦"* \Ф
II | 1
с С?1 с,
со-
- Л- 2* -> г V*
AV V 1 п
ТА "<*
-ZX. /|\ С cj
№ 1 и 6 соответствуют процессам с монотонно убывающей спектральной
плотностью. Функции 2 и 3 могут быть использованы для описании процессов,
содержащих некоторые "преобладающие" часюгы, близкие к р (шкие спектры
имеют, например, ординаты морских волн), функция Кв 4 соответствует
равномерному распределению энергии по час го гам, меньшим сой Как
предельный случай, при сой > со отсюда получается так называемый "белый"
пгум № 5. Такой процесс является чрезмерной абстракцией, поскольку он
обладает бесконечно большой анергией. Процессам Mii2 и 3 соответствует
конечная анергия, но они не являются дифференцируемыми. Тем не мсисс,
указанные процессы играюI весьма полезную роль в исследованиях по
статистической динамике.
Определение математического ожидания и корреляционной функции случайного
процесса по опытным данным. Oi раннчимея стационарными зргодическнми
процессами. При нахождении математических ожиданий н корреляционных
функций этих процессов по одной конечной реализации
V4- Г
я -ф J (ifi*
/, t i
К'<к *т> ~ г - Т~ ] l"W - 5И"(М-т) - "1 Л (|!))
Корреляционные методы
527
возникает вопрос об определении точности получаемых оценок. I iorpem-
ность здесь связана, во-первых, с конечной длиной реализации Т. Во-
вторых, практическое вычисление интегралов (18), (19) для реализаций q
(0, заданных в графической или табличной форме, связано с переходом от
интегрирования к суммированию. Как правило, эти вычисления выполняются
автоматически, при помощи механических, фотоэлектрических и электронных
корреляторов.
Кроме того, иногда для некоторого улучшения оценок (18), (19) в
подынтегральные выражения вводит специальным образом подбираемые весовые
функции а (0, я U, т).
Точность оценки q* математического ожидания q характеризуется ее средне
квадратическим отклонением ст. 3ia оценка является несмещенной, г. е.
математическое ожидание величины q* совпадает с q. Для величины с2т
справедлива формула [20]
i"+T "12 г
-f- j У (0 dt~q I _-|г J (l-A'w(T)rfT. (20)
tc J и
Задаваясь допустимой величиной от и подставляя в формулу (20) вместо Kqq
(т) сс оценку (19), получаем минимальную длину реализации Т,
обеспечивающую принятую степень точности оценки математического ожидания.
При определении точности оценки корреляционной функции (19) Moi ут
встретиться два случая: 1) когда q известно и 2) когда q неизвестно и в
выражении (19) вместо q используется оценка q*. В случае I оценка (19)
для Kqq (т) является несмещенной. Выражение для ее среднего квадрата
отклонения приведено в работе [20]; из этого выражения получается
следующая простая оценка сверху:
о*<2Л"<0)]/ -7гг<*"и]/т; ,2|)
здесь Тх - такой интервал времени, что для xj> 7\ корреляционную функцию
