Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
полученными при помощи теории марковских процессов. Вычисления
показывают, в частности, что точность метода тем выше, чем меньше
интенсивность возмущающего процесса (с увеличением последней возрастает
"эффективная нелинейность" системы).
Идея метода статистической линеаризации (априорное введение функции
распределения, зависящем от конечною числа параметров, которые далее
находит из условия .минимума ошибки) нашла применение и при решении
детерминистических задач [18]. Аналтичную идею используют по существу и
при исследовании нелинейных стохастических уравнений методом моментов.
Для того чтобы замкнуть цепочку уравнений для моментов, постулируют
зависимость между моментами различных порядков, соответствующую
выбираемому закону распределения. В рассмотренном выше примере система
уранцений для моментов второго и четвертого порядков замыкается при
помощи дополнительного соотношения х4 = 3 (х2)". В результате приходим к
выражению (5G) для й>2.
Метод малого параметра. Пусть в уравнении (53) V (х. х) - полином
относительно х, х. Полагая, чго
X (/) = Хд (I) + |U, (0 + (А, (/) Н----
получаем линейные стохастические дифференциальные уравнения относительно
Xk (/), в правые части ко торых входят функции х/ (<) (/ < к). В
результате функции х* (f) могут быть выражены в виде квадратур от
возмущающего процесса f (/)• После этого, можно нанти моменты процесса
x(t), например:
"
х2 = Xq -j- 2[1ХцХл р,2 (х2 Л- 2*0*2)
Метод малого параметра применяли к системе с нелинейным демпфированием
[44] и к нелинейной системе с двумя степенями свободы [41 ]. В работе
[33] этим методом решена задача о нелинейных колебаниях пластинки под
действием случайных сил. При этом метод малого параметра применяли
непосредственно к нелинейным уравнениям в частных производных Кармана, а
разложение по формам колебаний произ водилось на более позднем этане
вычислений.
Метод малою параметра может быть применен к параметрическим задачам, в
которых случайные функции нходят в коэффициенты дифференциальною
уравнения. Некоторые задачи устойчивости линейных систем со случайно
изменяющимися параметрами исследованы при помощи этого меч ода в работах
[35, 38, 48]. В работе [16] рассмотрена задача, приводящая к уравнению
х I /к I ш^[1 +14(01*-исекю^;
(58)
540 Статистические ждачи компаний и уктойчивссти
здесь |(0 - стационарная случайная функция, для которой
Использование разложения (57) с последующим применением изложенной выше
схемы вычислений дает с точностью до членов порядка р4
В работе ] 16 ] показано, что если 0 при а> >* 0, где Ф (о) -
спектральная плотность процесса |(0"т0 J- - /+ 0. Следовательно,
при этом условии случайные изменения собственной частоты приводят к
уменьшению "в среднем" амплитуды колебаний.
Метод усреднения. Этот метод использует известные идеи Крылова-Боголюбова
в теории нелинейных колебаний. Если исследуемый колебательный процесс
имеет узкополосный спектр, то уравнения движения могут быть усреднены за
"период" колебаний. Затем применяют либо корреляционную теорию, либо
теорию марковских процессов. Подробное изложение метода усреднения
применительно к случайным функциям содержится r монографии [27], где
рассмотрено большое количество нелинейных и параметрических задач.
Понятие о марковском процессе. Если движение системы описывается
стохастическими дифференциальными уравнениями, то эволюция во времени
совместной плотности вероятности неизвестных подчиняется, вообще говоря,
некоторому дифференциальному или интегро-дифференциальному уравнению- Это
уравнение будем называть кинетическим. Важный класс процессов, для
которых применение кинетических уравнений позволяет получить
содержательные результаты, образуют марковские процессы. Простой
марковский процесс - эю процесс без последействия, т. е. такой процесс,
при котором распределение вероятностей н момент tt зависит от
распределения в предшествующий момент f2 < и не зависит от истории
системы.
Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. В качеств простейшего примера
рассмотрим простой марковский процесс с одной переменной к (0- Введем
обозначения х - x(t) и xt - к (t t- т). Можно показать, что если пределы
выражений
6(0=0; g(0s(' тт) _/С(т).
а
sin (ш0* + ф).
где ф - постоянная фаза, а
J± - j К (т)е cos(o0 ± <0j)t (It,
о
dO
МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
*А (0 *-
т*0 т
(69)
Методы теории марковских процессов
существуют, то плотность вероятности р (х) подчиняется кинетическому
уравнению
РW = 2 ТГГ(-S')*1** <х)р (х)| <60)
Функции v.k (х) называют интенсивностями марковского процесса-Из них у-1
(х) характеризует среднее течение процесса; х2 (х) - его дисперсию и т.
д. Коэффициенты интенсивности связаны с корреляционными функциями
производной x(t) зависимостями
Kc(lt, tl <*) - К* (X) 6 (<! - (,) ... 6((i- fj) 4----- (61)
(точками обозначены члены, содержащие более слабые особенности). Если нее
y.k (х) при k^> 2 равны нулю, то марковский процесс называют непрерывным.
