Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Р - Р ("i..........."г........Чт. 4i. "а. Чг) *
Ч'\>0
du, dir,. . . с!пн, rfg,. . . /if/, (7)
Задачи, связанные с обработкой и интерпретацией опытных данных. Пусть
независимыми случайными величинами являю шя внутренние параметры системы
цу, иг и,п. Требуется найти совместную плотность вероятности для
предельных значений параметров qy, q2, . . qf. Будем обозначать эти
предельные значения через q^. q2, - - -¦> Qr~ Допустим, что известны
детермиинаические соотношения между параметрами <71, q2, . . qr н
внутренними параметрами конструкции ии и.,, . и1П, а также совместная
плотность вероятности р (и,. и а, . . .
. . ит). Пусть далее г <г т и, кроме того, существуют однозначные н
непрерывные зависимое!и
иа - иа (я. Ь- ¦ ¦ -¦ Яг. ..................... (о = !¦ 2- •. О:
(8)
тогда совместная плотность вероятностир (qy, * • ¦> *?)¦) можег бьпь
найдена по формуле шпз (3):
Р (Я*и Я\> - • -• О =
- \ \ p(U 1, и2, - Vr, "г+1.и.") <
I <*(!/,, U2, . . Ur)\ А А ,е,
•ч Л V . dum (5)
| dWi. Я2 ч,) |
Некоторые ограничения, накладываемые на зависимое!л (9), Morvi быть легко
сняты. Случай, когда однозначная зависимость отсумствует, рассмотрен в
книге J4 ].
Рассмотрим обратнчн> задачу: но заданному распределению вероятное юн для
предельных нагрузок найти распределение героя iносioil для инутреиинх па
раме грог оболочки, Решить згу задачу можно
520 Статистические задачи колебаний а устойчивости
по формулам типа (3), (5) и (9). Пусть, например, г = т, а зависимости qa
- Qa (wj, и2 ит) однозначны и непрерывны. Тогда
р(ир И2, ... ит)=р(д|, с4 -
I a(^i' Сч.....От I (10) х | в (hi, щ, • ¦ I'
Распределение вероятностей для предельных сил р q, ^г)
можно получить, исходя из формулы (7). Допустим, "по параметры
<?j, q2, . . qr фиксированы и равны qit q2 qr соопзетствеппо.
Тогда получим следующее выражение для условной вероятности отказа:
Р (* |4 4 ' ¦ Ч'г) =
= р(>ч н,") dut duz. , , dum\ (11)
M"i-'v Ч,К 4 - • • 4)
Формула (11) дает по существу совместную функцию распределения для q.2,
.... qr- Для совместной плотноеiи веройiносiи имеем формулу
, V , .. ЙГР (*: I <?,, 4, ч'Л
Р{Ч0=----------------- Л'. 02)
dqldq2' • ¦№/,
Примеры применения квазистатических методов. Ряд работ (3, 12, 22,23 J
посвящен следующей задаче: пласгинку или оболочку нагружают внешними
силами, заданными с точностью до одного общего множителя- параметра q.
Этот параметр весьма медленно (квазистатн-чески) и монотонно возрастает
от нуля до некоторого конечного значения. Требуется найти распределение
параметров деформации (обычно-обобщенных координат, характеризующих
нормальный прогиб), достигаемое к концу процесса нагружения. В статье (3]
рассмотрена задача о распределении вероятностей полного прогиба упругой
пологой цилиндрической панели со смещающимися кромками, сжатой осевыми
силами интенсивностью q. Параметр начального прогиба считают случайным,
параметр нагрузки - детерминированным. Верояшость "хлопка" для той же
задачи вычислена н статье [3J в предположении, что начальные прогибы
подчиняются симметричному нормальному распределению со стандартом си Эта
вероящопь показана на рис. 4 как функция нагрузки. Здесь Р {4 ) -
вероятность "хлопка"; ц - величина осевого усилия.
Задача о распределении критических сил подверглась наиболее подробному
исследованию (3, 12, 22, 23 J. В простейшем случае, когда
Квазистатические методы статистической динамики 521
нагрузка задана с точностью до одного параметра <?, а неправильности - с
точностью до одного параметра и, формула (9) принимает вид [3, 4 ]
Р \U 07*)] i
Р <?*) =
(13)
V (и) ди
Перенорыировочный множитель в знаменателе учитывает то обстоятельство,
что "хлопок" возможен лишь в определенном диапазоне изменения параметра
ин <С и <С ив.
Здесь qH и </е - нижнее и верхнее критические значения нагрузки гоотве
гстве шго
Значения математического ожидания q%, вычисленные для симметричного
нормального распределения параметра и при среднем квадратическом значении
<ju~0,l/i и сп = 0,25/t (h-голщини панели), приведены в табл. 1. Имеет
место удовлетворительное совпадение вычислен]] ых значений и тех данных,
которые обычно приводят экспериментаторы. Дальнейшее изучение
геореiических законов распределения критических сил было выполнено Б. П.
Макаровым [21-23]. Он рассмотрел различные случаи нагружения оболочек,
использовав при этом известные результаты решения соответствующих
детерминистических задач. Законы распределения вероятности р (</*) для
цилиндрической
I, Математические ожидания критической нагрузки для пологой
цилиндрической панели
аи <7, 4е чн
0,1 1.44 67 146
0,25 4,10 62 116
522 Статистически*- задачи колебаний и устойчивости
aiqj
оболочки при нсестороннем сжат ни при различных предположениях
относительно начальных проп!Гюв показаны на рис. 5 (1 - равномерное в
интервале 0 s~z и иИ распределение; 2-4 - нормальные распределения со
сшидартом ои = 0,3 и различными значениями среднего и). Из графика
