Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Kqq (х) можно считать практически равной нулю. В случае 2 оценка (19) для
Kqq (т) при отсутствии специальных поправок оказывается смещенной.
Выражения для математического ожидания и среднего квадрата отклонения
этой оценки приведены в книге [20]. В этой же книге приведены аналогичные
формулы для оценки точности замены интегрирования суммированием, а также
формулы для оценки точности определения взаимных корреляционных функций
двух случайных процессов.
Определение спектральной плотности стационарной эргодической случайной
функции по опытным данным. Спектральные плотности случайных процессов
определяют либо по экспериментально найденной корреляционной функции,
либо непосредственно при помощи системы узкополосных филыров. Формулы,
определяющие точность оценки
528 Статистические задачи колебаний и устойчивости
по первому способу, приведены в книге [20]. При практическом вычислении
интеграла (18) интегрирование заменяют суммированием. Максимально
допустимая величина промежутка АТ, на которые разбивается интервал
времени Т, может быть определена согласно теореме D. А. Котельникова
47=s-i-; (22)
здесь со,? - такое значение со, что при |со| 3* слв функцию Ф (со) можно
практически считать равной нулю.
ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Реакция линейном системы ни действие случайных сил. Пусть уравнения
движения линейной системы с ш степенями свободы приведены к главным
координатам, в которых неизвестные разделяются. Обозначим через Qu (0
входы, через vu (/) - выходы линейной системы (а = - 1,2,.. .. m), а
через На (/) - реакции на единичные импульсы, приложенные в момент t - 0.
Решение стохастических уравнений, удовлетворяющее нулевым начальным
условиям при t - /0. записывают в виде
t
•-'П Ю = f Ни и - т) <?" (т) а г (" = 1.2.. т). (23)
Отсюда получаем формулы
Ar0J'p U1, /а) -
U U
= f i И" ('l - xl) - T*) KQawe n- T'> ,!ls <24>
и аналогичные формулы для корреляционных функций более высоких порядков
(звездочки означают комплексно сопряженные величины). Для стационарных
случайных процессов из соотношения (24) получаем формулу, связывающую
спектральные плотности входа и выхода
Ф., , Го) -------------Ч-------; (25)
" Р /¦" (ни) / (J (M.I)
здесь Fa (to) (а - 1, 2, . . ., т) - передаточные функции линейной
системы. Формула (25) и входящие в нее функции имеют прозрачный
физический смысл и весьма удобны для вычислений; зта формула имеет
многочисленные технические приложения в области теории автоматического
управления, теории связи и т. п.
Корреляционные методы исследования линейных систем 529
Колебании систем с конечным числом степенен свободы под действием
случайных сил. Допустим, что движение механической системы описывается
уравнениями
% + йаиа°и - ""о,, - О,, 2, .. .), (26)
где еа - коэффициенты демпфирования; ь>п - частоты свободных колебаний;
точками обозначено дифференцирование но времени. Формула (25) принимает
вид
ф" 1"'
((:.) ?= - ,---------------2--Е-;-----------------. (27)
'"'Р (о- -4- Я?0шш" - Ы-) - "rj
По функции Ф ., (со) можно определить вторые моменты обобщен-них
координат. Учитывая, что '
"с"В = ^оаср <°)>
получим, применяя обратное преобразование Ф\рье,
вч(r)Р*=-у | Ф^(со)т/со (28)
Формула для вторых моментов производных обобщенных координат имеет вид
d'va d ё'р j •-
-^Г'-^r^Y J u,vettft,(l<el d0>- (29)
Вычисление интегралов (28) и (29) для случаев, когда Фр v (со)
определяется соотношением (27), а спектральные плотности обобщенных сил
(ы) являются дробно-рациональными функциями,
может быть выполнено при помощи теоремы вычетов. В приложении к книгам
[24, 261 содержится таблицы интегралов вида
( - Г gn(ico)
J Л" ("со) hn (-(со) Ш'
где Лп (л) и йл (х) - полиномы. При |юмош.и этих таблиц можно определять
средние квадраты обобщенных координат н их производных.
Изложенная схема решения может быть использована и для определения
моментов высших порядков. Если распределение обобщенных сил является
нормальным, го распределение обобщенных координат и их производных также
является нормальным. Поэтому их моменты высших порядков могут быть
выражены через момешы второго порядка.
530 Статистические задачи колебаний и устойчивости
'"I
Корргляциониис мепю.)ы исследования пссгц одоленных систем 531
В табл. 3 приведены формулы для вторых моментов обобщенных координат и
скоростей системы (26) для случаи, когда Qn (;) - белые шумы с
интенсивное |Ями Ditu и взаимными ингенашнопямн /Jap При этом Dan Фаа'*л"
-- Ф"р'л> гДе Ф""" Фар спектральные плотности н взаимные спектральные
плотности соответственно. Из "формул табл. 3 с 1 сдует, что при '.алых
значениях коэффициентов затухания, характерных для упругих систем (еа Z
1). взаимная корреляция различных обобщенных координат и скоростей
оказывается заметной лишь при весьма близких значениях частот iaft и
<'>р- Например, при fa - " г
ZDyfif- (Qja - fQfj)
(30)
('""-"n)1 "''"a"p("a I '"p)2'
