Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (60) принимает вид
р W = -gf 1*1 <*> р W1 + 4- ¦ 1*= <*> р W1 (62)
и носит название одномерного уравнения Фоккера-Планка. Оно описывает,
например, случайное блуждание точки вдоль осн. Уравнение (62) может быть
обобщено на случай многомерных непрерывных марковских процессов
~2
а=1
+ _гХ 2 РХаВхр |И°е (Х'' **' " •Xs)plXl'X" Xs)l' (63)
l*xi. х, xs) =
-jjL- [Ха (*i. *z *i)p(*i. x, xs)l +
"e
a^l (5-1
, ц lim (Xat **)¦ ¦
"up = lim
T->0
(Хдт *a) (xgt Xp) (64)
Уравнение (63) называют обычно уравнением Фоккера--Планка- Колмогорова
(уравнением ФПК)-
Пусть движение системы описывается стохастическими дифференциальными
уравнениями
S(65)
ha"(xl х*) = 1р(0.
р=^1
где SP (0 - независимые белые шумы;
Ёа (О Ы*+Ч-=*№&ае.
542 Статистические задачи колебаний и устойчивости
Кинетическое уравнение для этой системы имеет вид уравнения ФПК (63). где
Вывод этих соотношений дан, например, в книге [27].
Пусть имеющиеся в системе возмущения не являются белыми шумами, но их
спектральные плотности являются дробно-рациональными функциями. Тогда
уравнение ФПК можно составить, добавляя к стохастическим уравнениям
движения систему линейных соотношений, связывающих эти возмущения с
белыми шумами.
Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для механических систем. Рассмотрим
систему, движение которой описывается стохастическими уравнениями:
Существует два частных случая [2, 4], для которых уравнение (68) имеет
стационарное (р - О) распределение, называемое распределением Максвелла-
Больцмана:
s s
Ха (*", х2, . .xs) - So Н-2~
(66)
Ри"а + 2еаха -|- fa ((r)ь vz vn) = Со (О-
(67)
где
Со (0 =0; Со (0 Ср (* -г т) = СаЬ6 (т). Уравнение ФПК (63) для этой
системы имеет вид
f(v 1, V2, . .. vn, Н" V2......Vn) =
1) n = I; f ~ Тогда
P (о. о) = С exp
169)
где С - постоянная, определяемая из условия нормировки;
Методы теории марковских прщессг*
543
2) и> 1; fa= dVidvn; еа= в = const; сар - сбар. Тогда 4е
р = Сех р
(70)
Если уравнения (67) описывают колебания упругой пластинки или оболочки,
то, как показано в статье |2], распределение (70) имеет место лишь в
случае нагрузки, дельта-коррелированной в пространстве.
В остальных случаях нахождение решений уравнения ФПК связано, вообще
говоря, со значительными трудностями. Решение в конечном виде можно
получить для кусочно-линейных систем. Распределение получается "кусочно
гауссовским", удовлетворяющим некоторым условиям на поверхности разрывов.
Эти условия были установлены в работе [34], где получены также решения
для некоторых конкретных кусочно-линейных систем.
В работе [15] рассмотрено уравнение
о +2EBuu-t-wg[o I =Р(/). (71)
Было принято, что процесс Q (t) имеет спектральную плотность
ф(<") = -§=---Цз'!
2л '+<¦"
Приближенное выражение для совместного распределения обобщенной
координаты, скорости и ускорения имеет вид
А>
4ео(r)
f=vk J"p[-г-+к<¦'>]}*¦-
Уравнение Понтрягина. В задачах надежности част оказывается необходимым
вычислять вероятность невыхода изображающей точки системы за пределы
некоторой области фанового пространства в течение заданного времени.
Указанная вероятность подчиняется урав нению, сопряженному с уравнением
(63), при заданных краевых условиях на границе области и заданных
начальных условиях. Из этого уравнения получается дифференциальное
уравнение н частных
544 Статистические задачи колебиний и устойчивости
производных, определяющее среднее время достижения границы - уравнение Л.
С. Понтрягнна:
1 V V &Т , V эт
tL2j + х" 7?-*¦ <">
а=] р"1 о Р o=i и
Здесь верхний индекс у соответствует начальным значениям переменных ха.
На границе области функция Т должна
обращаться в нуль. Если начальное состояние подчиняется распределению р
(х|, Xj v^), то среднее время Т достижения границы определяют по формуле
т = f ..Jt-k.4 ...................................4)-<
XdlС? - - dX°s- (74>
В статье (8] указан эффективный метод приближенного решения уравнения
(73). При помощи этого метода для механической системы с одной степенью
свободы, имеющей две устойчивые особые точки, было вычислено среднее
время пребывания внутри области, которая ограничена сепаратрисой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андропов А. А, Понтрягнн Л С. Витт А А. О статистическом рассмотрении
динамических систем. "Журнал экспериментальной теоретической фи j и к и".
Т. 3, 1933, Afe 3.
2. Болотин В В. О стационарных распределениях в статистической динамике
упругих систем Рига, изд-во АН Латвийской ССР, 1063
3. Б и л о т и н В. В. Статистические методы в нелинейной теории упругих
оболочек. "Изв. АН СССР. ОТИ". 1968, Ас 3
Л. Болотин В. В. Статистические методы и строительной механике. М ,
Стройизднг. I06J (J-c изд.), 1965 (2 е изд.).
5. Болотин В. В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях
пластинок. Инженерный сборник Т. 31, 1961.
6. р о л о т к и В. В. Обзор иеепедований по статистической динамике
упругих систем. Сб. "Расчеты на прочность", М.. Машi из, 1964. Дв 10.
7. Болотин Н. В. Об упругих колебаниях, возбуждаемых случайными силами с
