Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
0,963 (2)
0,281 (2) 0,335 (3) 0,381 (3) 0,432 (3) 0,467 (4) 0,449 (4) 0,529 (4)
0,559 (4) 0,586 (4) 0,614 (4) 0,644 (4) 0,688 (4) 0,695 (3) 0,701 (3)
0,810 (3) 0,779 (2) 0,988 (2)
0,141 (2) 0,193(3) 0,236 (4) 0,287 (5) 0,311 (Б) 0,337 (Б) 0,362 (5)
0,386 (5) 0,408 (5) 0,430 (Б) 0,452 (Б) 0,479 (5) 0.493(4) 0,Б04 (4)
0,548 (4) 0,553 (3) 0,643 (2) 0,671 (2)
0,0769 (2) 0,0967 (3) 0,138 (4) 0,169 (5) 0,199 (о) 0,223 (6) 0,244 (6)
0,264 (6) 0,282 (6) 0,299 (6) 0,315 (6) 0,331 (6) 0,350 (6) 0,361 (5)
0,376 (5) 0,400 (4) 0,432 (4) 0,488 (3) 0 564(2)
0,0474 (4) 0,0623 (5) 0,0895 (6) 0,112 (7) 0,130(7) 0,148 (8) 0,161 (8)
0,174 (8) 0,187 (8) 0,198 (8) 0,210(8) 0,223(8) 0,231 (7) 0,243(7) 0,256
(С) 0,276 (6)
0.298 (Б) 0,358 <4) 0,400 (3)
0,0340 ( 5' 0,0448 (6: 0,0656 {7 0,0814 Г8: 0,0950 (9: 0,107 (9) 0,119
(9) 0,128 (10 0,138 (10 0,147 (10 0,156 (9) 0,165 (9)
0.172 (9) о;182 (8)
0,194 (8) 0,207 (7) 0,229 (6) 0,283 (3) 0,322 (4)
Примечание П скобитх у ни направленин
Применение асимптотического метода к расчету оболочек 461
ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК НА КОЛЕБАНИЯ
Общие соотношения. Понятие об асимптотическом методе В. В. Болотина было
дано в гл. 7. Здесь рассмотрим его применение к тонким упругим оболочкам
постоянной толщины [6, 81. Если характеристические длины волны и %г у
форм колебаний достаточно малы по сравнению с радиусами срединной
поверхности и i?Sl то уравнения для форм
собственных колебаний могут быть взяты в виде системы уравнений (15)
D ДДш т Щ - рЛо2ю - 0;
Яг dxi Я, Sxl
I /1 d2w I d2w \ л
Жлд*- (Ж'ЦЩ + яг '~Щ) ~ °-
(35)
Асимптотическое решение уравнений (65) для прямоугольной (в обобщенном
смысле) области со сторонами и а2 и с постоянной метрикой срединной
поверхности дано в статье [6]. В частности, для собственных частот
получена формула
- [га'2 + а2У2 Eh +
рЛ [I 1 V ¦ DRZ (k\-rkiy j
(56)
где у -- (радиус предполагае1ся конечным). Волновые числа kt
и кг вычисляют из системы трансцендентных уравнений (условий склеивания)
следующего вида:
Ml 3 arctg "11 (Ai. Аа) -j- arctg к1а (Аг, ks) -f т^-, } kzaz = arctg "2i
(Ai. *2) t "rctg иа2 (klt kz) -г пггл; J
(57)
здесь mlt m2 - целые числа или нуль, а функции иар (Аг, Аа) зависят от
граничных условий. Для свободно опертых краев все функции "аjj (Aj, Aa)
обращаются в нуль, а асимптотическое решение совпадает с хорошо известным
точным решением.
Область применения асимптотического метода. Асимптотическое решение
пригодно на всей плоскости волновых чисел AXl Az за исключением областей
вырождения краевого аффекта (подробнее см. статью [6]). Например,
динамический краевой эффект ие вырождается для тонких лластин н тонких
сферических оболочек. Для цилиндрической оболочки краевой эффект
вырождается лишь в случае достаточно малых волновых чисел
Если характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному
уравнению динамического краевого эффекта, имеет комплексные корни, то
краевой эффект называют осциллирующим. Если все корни характеристического
уравнения, кроме пары чисю мнимых корней,
462
Колебания оболочек
соответствующих порождающему решению, являются действительными, то
краевой эффект называют неосциллирующим. При больших г2 = = k\ -I fc
краевой эффект является неосциллирующим. Этот результат является вполне
естественным, если учесть, что при больших показателях изменяемости
оболочка ведет себя практически как пластика. При малых г* краевой эффект
может оказаться осциллирующим. Это справедливо как для оболочек
положительной гауссовой кривизны, так и для оболочек отрицательной
гауссовой кривизны. Лишь при О << у < * красной эффект остается
неосциллирующим при всех зна-
чениях г. Разбиение пространства параметров по типам краевого эффекта
показано на рис. 19. Область осциллирующего краевого эффекта обозначена
редкой штриховкой, область вырождения - густой штриховкой.
Приложение метода к задаче о свободных колебаниях сферической
панели. Рассмотрим сферическую панель, которая защемлена по кон-туру,
ограниченному четырьмя ортогональными линиями кривизны. Формула для
собственной частоты принимает вид
Асимптотические решения вблизи края хг = 0 будут (r) 1*1. *2> - w 1*1) sin
Ь.г (х.г -18); г ("1, *8) = X (х,) sin (дса -12).
Применение асимптотического метода к расчету сболсчек 463
j -
где W (*!> и X (Xj) определяют по формулам
. 2у"
(^ + ^)'2 + Г1 X (%) = bin к1 (*, - I,) f + х,С,
здесь Sj - (k\ -J- 2k^j 2 . Постоянные ?lt Cj, C2 и C3 определяют из
граничных условий [8 ]. Пусть на краю заданы условия W (0) - = W (0) = X
(0) = X' (0) = 0. Тогда tg kfa = Рх (kl3 *2), где
__ 1 ft (fej. kg)
si
(&i. &a) -
ft №i, *4) =
Ift ft, *s) (r)1
5*2 (sf + *0 =4
(*J -I- *|) (s, -h ft) [(fcf + !?f)- + c"] Волновые числа находят из
уравнений типа (57):
*i I-giftn feg)
*i
fejOj -2 arctg fcsG2 - 2 arctg
i--a ft. м
si
1- *a)
1 T~Ss (^i" ^2)
+ тгп;
-f- mzn.
Функция g2 (klt k2) получается из g, (klt k2) круговой заменой индексов.
