Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые другие приложения метода. К задаче о свободных колебаниях
круговых цилиндрических оболочек и панелей асимптотический метод был
применен Ю, В. Гавриловым f 14, 15]. У прямолинейного края х2 = 0
асимптотическое выражение для разрешающей функции имеет вид
ф (*!. х2) = (sin ft* (ж* - g2) + Cfe~StX* +
+ С8е~**х* + Сяе~**** I Sin ftt (х, -
где
i_ а JL
s, - (2*; + hf) 2 ; s2 . ft I I • k, ' .
Для характеристических корней, описывающих краевой эффект у круговых
кромок, явных выражений получить не удается. Численный анализ был дан в
статье [14]. Применение асимптотического метода к гонким оболочкам при
наличии начальных усилий к срединной поверхности дано в статье [8].
464
Колебания оболочек
Оценки для плотности собственных частот тонких упругих оболочек.
Из формулы (37) можно вывести следующее более грубое приближение:
+0(1); fc2<?2 = + О (1). (58)
Формулы (58) аналогичны хорошо известным асимптотическим оценкам Р.
Куранта для мембран и топких пластин. Существенно, что для оболочек эти
асимптотические оценки верны лишь н том случае, если динамический краевой
эффект не вырождается.
Асимптотические формулы (56) п (58) можно использовать для получения
опенок для плотности собственных частот преимущественно изгибных
колебаний. Будем определять приближенно число собственных частот N (to*),
меньших, чем заданное значение to*, как отношение площади области на
плоскости kx, kz,внутри которой частота со меньше,
чем заданное значение to*, к площади одной ячейки ---------;
а1иг
J jdk.dK.
to (Л1р ftj) < со.
Подробности вычислений см. в статье [351. Для среднего числа собственных
частот, меньших заданного значения to, имеем формулу
_L _i_
N (") ~ ( +) 2 | ["2 - <4 (f с"2 6 + s>ll2 е)21 2 <*¦ (5!))
В этой формуле toa - характерная частота,
1 / Е \ 2
"2=т?ГГ?г) ¦
Интегрирование в формуле (59) производится по той части квадранта
>> 0, к.г >> 0, внутри которой выражение, стоящее в квадратных скобках,
положительно. Дифференцируя почленно формулу (59), для плотности
собственных значений п (to) получаем формулу
~
п (to) ^ "J [о*-ей (у cos"fi -Г sin2 0)2| 2 т.
(60)
Пусть tiQ - характерная плотность собственных значений:
Выражение, стоящее в правой части формулы, совпадает с плотностью -
обствепиых частот для тонкой пластины. Удобно ввести безразмерный
параметра - -^ . Всегда можно занумеровать координаты
Применение асимптотического метода к расчету оболочек 465
так, что у = р1 ^ 1. В этом случае вычисления по формуле (60) с
использованием обозначения (61) дают
0, если I - су <0;
2
"(<¦>)
ПС
¦- к \ Л[ -
1 -av) L * 1
2g (1 - У)
пУ(1 + a)(l - ay) " L * (1+")(!- "Y) J если I - су > 0, а < 1;
1(1 -V) I'
(1 +")(! - ny)
2ct (1 - v) J
л J^2u(l -\')
если I-ay>0, a>l;
1
V i -
если 1 - ay > 0, \ = I.
(62)
Здесь К (x) - полный эллиптический интеграл в форме Лежандра первого
рода. Последняя формула (62) соответствует случаю сферической оболочки.
Точки сгущения частот свободных колебаний тонких упругих оболочек.
Формулы (62) позволяют обнаружить интересные свойства плотности частот
свободных колебаний тонких упругих оболочек п. Пусть <о1, со2 -
характерные частоты,
1 / Е \ 2 1 ( Е \ 2
Ri \ р ) ' " R, \ р /
(63)
Используя обозначения (63), можно сформулировать выводы из статьи [35]:
плотность частот свободных колебаний для оболочки
положительной гауссовой кривизны равна нулю при 0 < со < colf имеет полюс
при со = <о2 и приближается к плотности собственных частот для пластины
при <о> со2 (рис. 20). Аналогичные результат получаются для оболочки
нулевой гауссовой кривизны; в этом случае, однако, 0)1 -у О и,
следовательно, плотность частот отлична от нуля по всем диапазоне.
Частоты свободных колебаний оболочки отрицательной гауссовой кривизны
имеют две точки сгущения: одну - вблизи
Колебания оболочек
о) - и другую - вблизи (1) = ш2. С увеличением частоты плотность
быстро приближается к значению плотности для пластинки пс (рис. 21).
(Осуждаемые здесь точки сгущения принадлежат лишь асимптотическим оценкам
распределения собственных частот. Эмпирические плотности частот будут
иметь соответствующие максимумы лишь в том случае, если плотность Р.
Куранта достаточно высока. Сопоставление асимптотических оценок с
эмпирическими данными проведено в статье [35].
ЛИТЕРА ТУРА
1. А г е н о с о в Л. Г. Устойчивость и колебании защемленной конической
оболочки- Сб. "Итоговая научная конференция Казанского университета за
1963 г.. секции: математика, кибернетики и теория вероятности, механика".
Казань, 1964-
2. А л у м я э II А. О фундаментальной системе интегрален малых осе-
симмстрических установившихся колебаний упругой конической оболочки
вращения. "Изи. АН Эстонской ССР, т. 9. Серия технических и физико-
математических наук". I960, .V" I.
3. Амбарцумян С. А.. X а ч а т р я " А. А. Об устойчивости и колебаниях
пологой ортотропной цилиндрической панели- Доклады АН Армянской ССР. т.
30. № I. I960.
4. Б о л о т и н В. В. Некоторые новые задачи динамики оболочек. "Расчеты
