Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
трехмерной теории даны иа рис. 15 сплошными линиями,
для сопоставления штриховыми линиями нанесены результаты вычислений по
теории оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява.
КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Основные соотношения. Уравнения колебаний. Пусть срединная новерхнссш
{рис. 16) сферической оболочки отнесена к географической системе
координат *i"U,
*2 := Ф (0 " угол широты; ф - угол долготы). Параметры Ламе выразятся
формулами
Hi - /?; //jj - /? sin 0, где R - радиус кривизны оболочки.
Колебания оболочек
Дн'^ор. нция |!>.;ы' ура:>ненни колебаний буду!
- phR^ - Rg,-,
fWi* I t)V?, ...
~w т мгпг ¦ *г" 6 ~0t ~
¦ (ЛК^дЗГ- РЧъ-
Ж + ^ПГГ 'ж " с'8° +(л" + л'"> =
. ач"
- -Р^дг + Д*:
-jf . vSTT't" 1'1..-*1я>"Чв -<?,* -0;
*зг--^г-^+2Л1-^0-^-°
Ус .1'Еия и чомси I ¦>! определяют по формулам Л и - j v, (tin -• vt. J:
Л'23 = j _ "g (е2з + v?n);
A ь - Л ;, , ~ ( - ~ У.,2 ) ;
Л!ц D (v-i, M22 ^ (^22 H" vk");
ai,2 ^D(i - v)k12.
Компоненты деформация ""в и изменения кривизны:
г ("¦+")•• E-~ir(^-|F + ,,,ctg0+,");
j / 1 а% aw,, \
2/? (sme '<**> ае
я2 \а
~2Р. У
I / а^ _ aw, \ я* \аез ае );
1 г 1 а / I аш \
Из2 - Я2 [ sin В dip \ sin 0 дф 1'2)
clKO (
( Г I ()21М .. / 1 ihi) _
К|! fii 8 Vsmll'Sf
\ I _ . <1щ
¦ / ski 0 dq> ao J
Колебания сферических оболочек
445
Упрощенные дифференциальные уравнения. При определении частот и форм
свободных колебаний, для которых напряжениями изгиба можно пренебречь по
сравнению с напряжениями растяжения срединной поверхности, можно
использовать упрощенные уравнения - шфференциальные уравнения
бгзмоментмой теории оболочек:
<?'Уп
аа
sin О
д.У,а
d'|>
[- (Л',-
-Л'гг) el^O -phK
т
sin 0 •Vll + Л 22
130)
Соотношения упругости также упрощаются
F.h Eh
А" = \ _ (t" + we): ^22 = у-^
Л'та - Л'м =
Eh
I -г v 1
Для отыскания преимущественно изгионых форм колебаний могу г быть
использованы другие упрощенные дифференциальные уравнения. Уравнения
упрощают введением двух предположении: I) влиянием тан генциальных сил
инерции можно пренебречь; 2) вкладом тангенциальных смещений в изменение
кривизн можно пренебречь. Последовательное проведение этих гипотез и
введение функции усилий х приводит к дифференциальным уравнениям
D AAw т Ах -
p/i
d*w
Ot2
ДДх -
- До; - 0
(31)
Связь усилий в срединной поверхности с функцией х и выражение оператора
Лапласа Д даются формулами
Nll ~ R* ( $1пго'вч*+с,к° " ): Л"-7?г'
(isnr ¦%)¦•
Ч. ае2 •
J д_
' пг ' ао
4 l<' bin 0 [ I" (5,П " (Hi ) 1 sill (I
' ] '
(32)
Иногда удобно исключить ил системы (31) функцию усилий
446
Колебиния оболочек
Собственные частоты колебаний сферических сегментов. Решение
дифференциального уравнении (33), соответствующее свободным колебаниям
пологого сферического сегмента с частотой ю, можно искать
в виде
IV = W (г, Ф) еш , (34)
где г, ф - координа iы точки в полярной системе координат.
Подставляя выражение (34) в уравнение (33), убеждаемся, что
свободная
фирм.') колебаний должна удовлетворять уравнению
ДДДю - Ь* Лю ~ 0, (35)
где
61 =4
Но решение уравнения (35) является суммой решения дифференциальных
уравнений в частных производных
Лю = 0; Да? - й-'ю - 0: Да/ + &2ю = 0. (36)
При эчш решения первого уравнения огражают статичес кий изгиб
сферического сегмента краевыми усилиями и моментами, решения второго
уравнения затухают с удалением от края оболочки н характс-ршуюг
динамический краевой эффект, решения третьего уравнения совпадают с
формами свободных колебаний всюду за исключением оитасш, прилегающей к
краю.
Свободные формы колебаний удобно искать в виде
w (г, Ф) = / (г) cos "<р.
Го:да решения уравнении f36) будут иметь, соответственно, следующий внд:
А'Г* -ь-v-"; 1
I - в,1" (Ьг) -г в"к" (Ьг); / " Сг]" (Ьг) + С, Г" (Ьг). j
Так как в вершине сегмента смещения должны быть ограничены, то А2 - В2 =
С2 - 0. Окончательно, функция f (г) имеет вид
) (г) = Arn + Bln (br) + CJn (Ьг). (38)
Аналогичные выкладки для функции напряжений (усилий)
% - ф (г) cos nfpeiL>t
приводят к формуле
" (0 = Fr* + [Bin (br) - CJ" (Ьл)].
Для иллюстрации удобно рассмотреть осесимметричные свободные колебания
сферического сегмента с защемленным контуром. Граничные условия при г =
rt)
Колебания сферич&ких оболочек
Соответствующее характеристическое уравнение (уравнение час mi) в случае
осесимметричных колебании имеет вид
Jo М I, {!",) +J, <Ьг") /о <ьг") + 4 (1 +У) '^{br,l> 'iff - 0.
/ I -V 2Л \
I ?'" R )
(40)
Rbr,
Для скользящей заделки (осесимметричные колебания)
dw ~дг
уравнение частот будет
Nu-w---^=0 (41)
•'о (Ьт0) /i (6/u) -J- (6r") /л (6т0) - "/1 (6т0) /х (6т") - О.
(42)
Эта задача рассмотрена Г. Ван-Фо-Фы и В. Н. Буйволом [12]. Если н
ныражеини (38) постоянную А положить ранной нулю н сохранить из красных
условий (39) или (41) лишь условия
or
то получится приведенное в pafmre i2R| неточное уравнение час юг 3Г,
(Ь'о) U ( -¦!'"( 6.'о) '" ( Ьг") ". 0. (43)
Однако это уравнение лри определении частот приводит лишь к
