Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вынужденные колебания пологих сферических оболочек. Уравнения вынужденных
колебаний пологой сферической оболочки под действием периодической
возмущающей силы имеют вид
D Д &W + -i- &х + Р* (' - 'о) г'""';
1 д , j .
- ДДу.^Д*
Исключая из уравнений время у" - у w - we1 6>в* и введя новые
вспомогательные функции F и ф по формулам .
X-F - Щ- ф; а> = Д (ф - i.F).
где
I = (p/iioj#)-1.
Колебания конических оболочек
453
можно убедиться, что функции F и ф должны удовлетворять уравнениям
Д ДF = 0; Д (ДД - ф = Р0 (г - г0);
fc4 = J_ [J________J*_l
г> L я*. я2 J
Частное решение последнего уравнения имеет вид
+ ["о (" I Г - г"|) + Н"(6 | г - л" | )1 j;
здесь И0 - функция Ганкслн нулевого порядка.
Общее решение соответствующего однородного уравнения будет (в полярной
системе координат)
Ф - ? М'м М cos Пф + (г) sill rap],
л=Л
где
ф1п =Апг" А-Л^'г-" +BnJn(br) l-e;,llF"(60 +
+ С"1"(Ьг)+сткп(Ьг).
Решение этой задачи дано Г. А. Ваи-Фо-Фы и В. Н. Буйволом [121.
КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Дифференциальные уравнения тонких упругих конических оболочек для
динамического случая. Пусть срединная поверхность конической оболочки
отнесена к ортогональной системе координат х, q> (рис, 18).
Тогда коэффициенты Ламе будут
//, - 1; Нг - х sin ", где а - угол полу раствора конуса.
454
Колебания оболочек
Уравнения колебаний конической оболочки имеют вид
_!_ 0 (Д,1А)
I dNa
дх *' х sin а д(р
I д (Л'21х) 1^
I .. , d2/*,
• - Л22 -Ь *7i - :
I
1 д (QjX) х дх
1 д(Мг1х)
х дх
1 Д (Мц*)
+ % = Ph
дх п х sin а
Q2
at X tg и
-¦ ^ | г х sm а dq>
d2w
_j амц
х sin а dcj:
I . ам22
х sin а йф
6q>
d3r/2
а/2
лги
xtga
г-^22-<?i -0;
' ^12 - Фг - ^
(45)
Усилия и моменты выражаются формулами (2), в которых следует учесть, что
-=- = 0, /?2 - х tg а. Компоненты деформации и измене-
"i
пня кривизн будут
р _ Э"' . , - 1 3% , в, ю
11 ~ "ЗГ- Саг TitaV~3T +
х sin a дх с xtg"
= ±Г !____________
2 L X sin a dip dx \ x / J 7
d2w dx* 1
x2 sin2 a аф \ дф
d2w
1 / d2w 1 dw d"2 \
и1Е - r 1 '¦= -r cos a ),
x sm a V дх ду x дф dx J
Приближенные уравнения красного эффекта (уравнения с большим показателем
изменяемости) при пренебрежении тангенциальными силами инерции для
конической оболочки примут следующий вид:
I d3y
D Д Дw т- =r-g р/"ч2ш = о.
Eh
( Л d2 I d J_
\ ' dx2 x * дх + Xй sin2 a * dф^й ) '
Д Ax =
x tg a dx2
(46)
Колебания конических оболочек
455
Тангенциальные усилия в срединной поверхности связаны с функцией
напряжений формулами
1 д2%
х2 sin'-2 а дф2
1
1 Si. ,v -SSl.
х tlx ' Л" - дх' •
( i .Si.
\ дхд<р х Аф ,
Свободные колебания конических оболочек. Полубезмоментная теория.
Дифференциальные уравнения малых колебании конической оболочки, если
пренебречь силами инерции в направлении образующих и использовать
предпосылки пол у без мо чентно й теории, имеют вид
iM |
дх sin "
дц>
- 0;
^ + s."up'^L-,-Av]-
1
дМь,
xtga йф
~ х sin a - p/i
dau2 .
!
xtga
dt2
дц>2
-1-рА-
^(А'Кда) дк12
дх
dq>
~дф
" _sina Г + "" 1----------------'.-%"=0;
р L дх llJ jctga бф
X". COS a --------------------:-------------------• а " • = 0.
** v ctn п rtniz
(47)
Первые три уравнения системы (47) являются уравнениями движения,
последние три - уравнениями неразрывности деформаций. Удобно ввести
вспомогательные функции 0, ф по формулам
22 - х sin a dq> "
т =_j *l. г,
11 х sin а 12
дх >
ао
дх *
Решение можно искать в виде
(н2,0. ф] - {и2,0,ф) sin п(реш; (ю, еиа; = {10, еа8{ соьпфе1(tm)1;
456
Колебания оболочек
Af*.2 - Е)Х22, е22 - TFIT ^22
ис ользоваиие упрощенных соотношении упругости
1
ЕЛ
приводит к соотношениям
х sin о
а" = -^-------з- (e^o cos о - mb) •
п* - cos2 а 1
хsm а . -
"* - •-"","" <"** '"'l cos
- - П2 "j* cos2 О -
mm;tga + п2х sin а j" -5-----5-x2ty sin a Ig а:
П - COS It v
?/w sin3 a cos а , ,
(r) ~ n2 (n2 - cos2 a) ^ ^ '
Eh cos a sin5 a , ,
,¦¦("*-cos-" а) Ч1 1 П +
Dnz ("2 ~ cos2 a) . " , g n2 ~r cos2 a 7 .
-J-------7 - i]? -x3 sin2 a tg a - рЛш -5--яр = 0.
x sin a cos " 4 ьг пг - cos a 4
Если оболочка шарнирно оперта (условия Иавье), то краевые условия будут
(r)22 = Тц = 0 илн ^ = ix2^')' = 0.
Для защемленного края
яр = 1];' =0.
Решение полученного уравнения методом Галеркина дает
А
: min
. j ("+0 Ше+№ ПТ " + Л Я"*"
j (е | cl'
F.
Х рА •
* = (e + ?)*: Ro=0 fF)/sina; sin2 a cos2 a
*48)
A-
n2 (n2 4- cos2 a) 1
, (1 + f)2 ( A \2 n- (n2 - cos2 u)2
* " " v(r)) ( /?" )
12 (1 - v*) \ R0 J sin2 a (n2 - coS" al
a - угол полураствори конуса; I - длина образующей оболочки; кI -
расстояние вдоль образующей от вершины конуса до меньшего среза оболочки.
Решение данной задачи получено Л. 10. Поверусом и Р. К. Ряиметом f291.
Колебания конических оболочек
457
Результаты вычисления по формуле (48) безразмерной частоты
для опертой по краям усеченной оболочки при v - 0,3. е := 0,5, т = I
приведены в табл. 6,
_1_
2
опертой усеченной
конической оболочки |е= -0,5, v = 0.31 при различном
числе и волн в окружном направлении (R0 ¦=¦ lx bin а)
