Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
п с- fe-• Ш
а(r)
18 30 45 60 75 15 31) 45 60 75
2 ","16 1,052 1.245 1.110 0.657 0,591 1.048 1,243 1,108 0,654
3 0,828 0.545 0,5-28 0.524 0.325 0,283 0.488 0,571 0.501 0.292
¦1 0.7.18 0.530 0.463 0.396 0.299 0,182 0,283 0.326 0.285 0,166
0,957 0,676 0,534 0,457 0,373 0,173 0,134 0.216 0.187 0.113
6 1.274 0.800 0.656 0,550 0.436 0.207 0.165 0,164 0.141 0.0928
7 1,705 (1,928 0.758 0,631 0.526 0.24-2 0.172 0,157 0.132
0,0938
8 2,225 1,201 0,905 0,751 0,637 0.273 (1.166 0.158 0.132 0,1057
9 2.В22 1,488 1.085 0.894 0,783 0.319 0.222 0.178 0.148 0,1195
10 3,170 1.825 1.311 1.076 0.956 0,371 0,252 0,198 0,165 0,1307
Свободные колебания конических оболочек. Применение уравнений краевого
аффекта. Неосесиммегричные формы колебаний оболочек нулевой кривизны,
соответствующие минимальной частоте, имеют в окружном направлении болы
ной показатель изменяемости. Поэтому для определения этих форм колебаний
можно использовать приближенные уравнения (46).
Для замкнутой усеченной конической оболочки (xt х ^ х2 - ~ I ' Х|),
опертой по краям, решение уравнений (46) проще всего искать, используя
метод Галсркина. Аппроксимировать функции можно, например, при помощи
рядов
w = cos лир С" sin 0,1 ^ \
, оп (х - .г,) X = cos тц> } Ап sin-------------------------------------
}----------
458
Колебания чиояичек
Выбранные функции удовлетворяют лишь кинемагнческнм условиям.
Динамические условия будут выполняться тем точнее, чем меньше будет угол
а.
Использование процедуры Галер кина приводит в одночленном приближении к
следующему выражению для собственной частоты колебаний:
2 D (г 4 1-Г
"""я - р/4/, | L Ю '
/, , 2пР \ / 1 - |а 1 - | \
+""(1 +-лГ*тт) (яГ шг) 'г
( т* 4 m2 \ I-| j-
~г \.~ьйТ*а ь1ла"сГ j 2 j т
+ 12(l-va)
3(1-ga)
hi tg2" L 8 К
0" ( 1 + 2т2 \ (a
sin2 а / Л " 6
т* 4 rtr \ 1-Е 1"
sin4 а sin2 а ) 2 \К
-?5 1 - V 3(1 -1) 1Т
10 2dt Bat
(49)
Экспериментальная проверка показала, что формула (49) дает погрешность
10-15%. Эга задача рассмотрена В. Г. Годаевичем 116J.
Влияние тангенциальных сил инерции. Учет тангенциальных сил инерции
приводит к некоторому снижению частот преимущественно изгибных форм
колебаний и к появлению двух серий частот, которые соответствуют
преимущественно тангенциальным формам колебаний. При этом снижение
основной частоты может доходить до 15-20°Ь. Эго снижение тем
существенней, чем меньшим числом волн в окружном наиранлении будет
характеризоваться соответствующая форма колебаний. При этом
тангенциальные силы н осевом и в окружном направлениях неравноправны. На
минимальную частоту собственных колебаний наиболее существенное влияние
оказывает учет инерции в окружном направлении. Оценка влияния
тангенциальных сил инерции рассмотрена Л Г. Агеносовым [I] и В. Е.
Бреславским. Безразмерные параметры частоты
_ О -У') Р"о ,
вычисленные при учете всех сил инерции (р) и при пренебрежении
h
тангенциальными силами инерции р' - 0,003), приведены в табл. 7.
(а - 15°, V- 0,3, -=
\ Аи
Колебания конических оболочек
459
7. Приведенные частоты р = P^g. V ~ защемленной
по контуру конической оболочки при учете (р) и пренебрежении (р*>
тангенциальными силами нперинн
(а-=15°. ?=0.3, --=0,03,
¦ р Р* " Р Р*
2 0,0852 0,121-1 7 0.9771 1,0038
3 0,0996 0 1012 8 1,0-179 1,6888
4 0,1506 0,1543 9 2,6248 2,6828
5 0,2861 0,2955 10 3,9925 4,0718
е 0,5430 0,5621
Применение метода Ритца. Выражение для потенциальной энергии деформации
конической оболочки имеет вид
2я Л,
и -~2~ J | | j _V2 [((r)11 H'(r)22)2 - ~ v) (е11&22 (r)1г)]
О хг
+ D [(*11 + У'&)2 - 2 (1 - VJ (К11*22 - *12 ) j] Х Sin U dX'
Выражение для кинетической энергии будет
'--ММ [(*)*+
О г,
ч^)м-1г)2н,,аАС-
Пусть оболочка оперта
= Ми
= 0;
тогда для перемещений удобно выбрать следующие выражения;
л . . .* тл(х- лм
= Ах (х sin с)2 cos - sin пф;
тя(х - jci) ы2 = Ай (я sin a)2 sin - cos пф;
(51)
(52)
(53)
Формулы (53) удовлетворяют, вообще говоря, лишь кинематическим граничным
условиям (52), а в случае цилиндрической оболочки удовлетворяют также
динамическим граничным условиям. Подстановка
460
Колебания оболочек
dliражений (53) о формулы (50) и (51) и применение вариационного принципа
Гамильтона приводит к уравнениям Лагранжа
к
dAj
dt
-^о а----1,2,3).
(54)
Поде Iявляя в однородную систему уравнений (54) выражения Ai = at cos о
it
и приравнивая определитель нулю, можно найти ураннение частот
Ь0сА + bt to4 + Ьг со2 -f- bs - 0.
Эта задача рассмотрена Э, И. Григолюком [20], Результаты вычислений
минимальных значений безразмерной частоты
О)* со/ ^ -
р (1 -у2)
при различных углах пол у растворах и отношениях приведены
*4)
в табл. 8. В скобках приведены соответствующие числа п волн в окружном
направлении.
8. Минимальные частоты со* ¦
-ы1
pq - v")
колебаний
опертой конической оболочки ори различных углах лолураствора г и
отношениях -^- (i?" = /sinа)
0,419 (2) 0,479(3) 0,Б19 (3) 0,562 (3) 0,607 (3) 0,652 (3) 0,693 <3)
0,729 (3) 0,757 (3) 0,776 <3) 0,789 (3) 0,809 (3) 0,877 (3) 0,891 (2)
