Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
несущественной погрешности f 121. Онюставлепне частот осесимметричных
колебаний защемленного и оперило сегментов проведено в табл. 5.
5. Частоты колебаний CD- lO-3 в раЛ/сек сферического сегмента радиуса
т0. высоты " ~~ = СО: - -¦= И^ЫО' jh'/uk1 I
Защемленный край
Неподвижно опертый
ш
Колебания оболочек
Радиальные колебания замкнутой оболочки; сопоставление с точным решением.
Для получения точного решения необходимо исходить из уравнений теории
упругости. В этом случае компонент смещения в радиальном направлении
удовлетворяет уравнению
Решение дифференциального уравнения может быть записано в об-
Еслн г, -внутренний радиус; г" - внешним радиус полого шара, то у
равнение частот примет вид
В случае очень тонкого шара (гх " г, "г Г{) приближенное значение частоты
может быть найдено в явном виде
Эгатжс резульгй! получается при использовании уравнений теории оболочек.
Влияние деформации сдвига и инерции вращения на колебания сферических
оболочек. Учет деформации поперечного сдвига и инерции вращения приводит
к уточнению чае га г и форм колебаний, найденных на основе гипотез
Кирхгофа-Лява. Это угочнеше тем существенней, чем меньше длина ноя у ноли
форм колебании. Кроме того, появляются новые формы колебаний,
соответствующие более высоким частотам. Пуль сфсрнвеская оболочка
постоянной толщины h и радиусом срединной поверхности R отнесена к
полярной системе координат (г, 0, ф). Решение ищем н (]юрмг
d2ur , 2 da, dr'2 1 r dr
Pajurv лы:ое нормзлыюс напряжение будет
щем виде
- ;) Igor, Sar3-i-(a'ri - -)is!"r2
(err; -{)- ;er, tgart (a"rj - S) - Jnr, IgmI
1 ~r 2ii) ь (3 -ь)
P PR2
PR2
"ли
i<B _"д l г(5,; "ф =ua гр,; и, - os.
Колебания сферических оболочек
449
Уточненные дифференциальные уравнения движения будут
Ж+Ж?'^' + ('v"с,ее"ft = ?h№ Ж ~*"
Ж + ЙвО 'Ж + 2А|* Ct"e - <?. = pkRk
ж+жг If * ft cl"''+№'+Л"> - <-'hRk w+** ж 'жго-ж '(,Mu -*-"c,t'"-№ -
phR4'k' ж: dJW T5le-ж + 2-МиС,вП-w" =р,да'Ж-
ке
*4-1 6--; fc, I I- 1.8У; 6= = - (tm)
В частном случае свободных колебаний замкнутой сферической оболочки
уравнение частот при k2 - 1,2, v = имеет вид {h2-осред-
ненный коэффициент сдвига)
j 6' I- 3.6,М" (6,8 8,2,V| М' - (9.2 -6.33Л -
- 5,6Л") М -г (4,27 - 7,2N + 0,53Л'3 + ,V>| (
_ Л(! - м (2 + ,V) + -|- N j (3(г М + 2 - ,V) X
х("М+2~? -W):.0i
здесь
A|=Jmyi_vW . л.,"(п+1);
я - номер присоединенной функции Лежандра.
Приведенная задача рассмотрена Прасадом [43).
Нелинейные колебания пологих сферических оболочек. Для изучения
осесимметричных нелинейных колебаний пологих сферических оболочек может
быть использован метод Бубнова-Галеркина. Пусть сферический сегмент
отнесен к системе координат, которая в плане является полярной Тогда
уравнение срединной поверхности будет
г=/(Л> fr^/i).
Компоненты деформации выразятся формулами
f)и iIf dw I / dw \* I
1,1 J ~дГ ~dr дГ + dr ) 1 '**
15 Jait. 1349
450
Колебания оболочек
Условие совместности деформаций имеет вид
д df dw I / dw \2
дг <геи>-е"- dT'Tr 2 IИГ/
Удобно ввести следующие обозначения:
/ . ? L--
Н ' rt '
Qr\ о*
DH ' Q ~ DH
DH
Q-осевая сила, приложенная н полюсе оболочки; т]> - силовая функция,
. _ Л'и'Й _
4 D D
Тогда, после применения к уравнению движения н уравнению совместности
деформаций процедуры Бубнова-Галер кина, задача сводится к интегрированию
системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений
у daw* . d^w* I dw* д ,
Е <з|я +_й|= | + з| +ш| +
-j(*
+ L*_.
а|2 т ^ j т- ^2 Л
Удобно исходить из следующих граничных условий при ? = I (Г = г,):
* _ <???'* г. г, .
^*=°; -^-=-о-БГм11; -?^Л"
Придавая коэффициентам аир различные значения, можно получить различные
варианты граничных условий: а - 0, р=0 -жестко защемленный край,
-
а = 0, р = оо - свободно защемленный край;
а - со. р = 0 жестко опертый крин;
а = оо, р = оо - свободно опертый кран.
t-'.омбапая сферических чболочск
151
Для нагруженной сосредоточенной силой и райномерно распределен-пой
нагрузкой сферической оболочки уравнение вынужденных колебаний имеет вид
(при решении по методу Бубнона-Галеркина)
*г, . "
Со -Зт; - -I- "l"tl - од> + ЧЩ) = С,Ч + 4Q . (44)
Здесь для сокращения принято
8 - 25* 4- 20*2 2
120(2/;-!) ' 1 3 (2ft - I)*
+ h-L-"+^ Pl);
1 / _Ё_ k 1 _1!1 ^3 2>ks
-l)i \ V2 2 A
19
3(2* - 1)^ V 12 2 " r 4
3* - 2 3 - 8* -f 6*3
, 3* - 2 3 - 8* -f 6** \
+ |2- pi 6
3(2* -I) ( 5 ' 6 P*/ l_
Pi - -
"r 3 2k -I fi2 "
3ft - 2 2* - I
4 =r 24 ; Cc" 8ji '
20* + I8*2 -f (j.i - v) (1 - 4* -f- 6*2) _
1-1-И-v 5 - 9ft -f (И - v) (I - 3ft)
Pa " 1 -j- ii - v
fe=-^LL; Vlr-
2n * (5 -J- v) a - I * c\ f &
Особые точки уравнения (44) будут 1
i(l> ~ ft '431 ~ ~^r- (c2 ± V4-icfy)
аебания т* связан с амплитудами про мостыо
1 - Г •
Tj - 4я6~З32 (J - v2)2 со 1 I
Период колебания Tj связан с амплитудами прогиба ш0 и нагрузок
зависимостью
8 , , С'Ч. +чЧ,
452
Колебания оболочек
Связь Tj с voо при q = Q = О и v - 0,3 представлена графически при
различных значениях т - б2 (J -V'2)-' на рис. 17 [19J.
