Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим балку на диух опорах (рис 10), прогиб под силой для упрушй
балки
Р1*
V~~ 48 t.J
Для неупругой балки "-1 Р13
Иная картина будет при задании перемещений. Пусть, например, задано
перемещение А конца кип сил и (рис. 11). тогда упругий прогиб Риг. 12.
Труба под дей-3 г хг I х* \ сгинем внутреннего дав-
" = ..............................
т. е не зависят от модуля упругости. Следовательно, по принципу
Вольтсрра, прогиб соответствующей консоли из линейно наследственного
материала будет таким же (не будет зависеть от времени). Далее, реакция
на конце yiipyiой консоли Р - Е 'Уд'1 . Для неупругой коисоли
<- = ь.Цг-1""j.
(НЯ.
под действие ределеи ие на пря жен и й
т. е. происходит релаксацня.
Пример 2. Труба под д в л е н и н (рис. 12). Распределение формулами Ламе
b*
Теория упруго-вязких тел
т. е. но зависит пт упругих постоянных Для неупругой трубы эта формулы
сохраняют силу. Перемещения же будут расти со временем.
Пример 3. Вращающийся диск. Распределение напряжений в улруюм вращающемся
диске из несжимаемого материала ^v = -j-j не зависит от упругих
постоянных. Следовательно, такое же напряженное состояний будет и в
нсупругоы диске, однако перемещения п гюсл ел нем будут со временем
нарастать.
СЛОЖНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕЛА
Упрут о-пластическое тело. Последовательное соединение упругого и
пластического эче\м нгов (рис. 13, а) приводит к "одели упруго-
пластического тела. До предела текучести оТ тело деформируется упруго;
пластическое течение происходит при постоянном напряжении. После
разгрузки возникает остаточная деформация (рис. 13, б).
Модель у пру го-пластического тела лежит в основе теории пластичности
(см. гл. 3)
Рис 13 Модель упругочыи Рис. 14 Модель низко-пластического
сткческого тела тела
Вязко-пластическое тело (среда Бингама). Вязко-пластическая среда
характеризуется параллельным соединением вязкого и пластине ского
элементов (рис. 14, а). При напряжении, меньшем предела текучести от.
тело не деформируется; при о4 - consl = о0 > ог скорость деформации
пропорциональна избыточному напряжению <70 -ог (рис. 14, б). Эта модель
соответствует таким веществам, которые обнаруживают заметную текучесть
лишь при достаточно больших напряжениях (например, металлы при высокой
температуре, густые смазки, краски, различные жидкие пластические массы и
т. д.).
При одноосном напряженном состоянии закон деформации вязкопластической
среды имеет вид
(r)1 + Olisn, (?.))
Уравнения при сложном напряженном состоянии можно получить, складывая
напряжения, отвечающие жестко-пластической среде Мизеса, с напряжениями,
соответствующими течению линейно вязкой жидкости:
Г" I .1.С. / О7 U *.
Ти=1тйг+_ИЧ"
(30)
Сложные нелинейные тела
145
где г)/ - интенсивность скоростей деформаций сдвига;
V-H
/ Ш -Ы* + (^-Ы2 + (|г-Ы2 + 4* -п- f I у 4" Vyz 4" "Плг)
Среда считается несжимаемой. Из равенств (30) следует зависимость
Ti"W+-b'' (3|)
где - интенсивность касательных напряжений.
Картина движении вязко-пластической среды своеобразна: в зонах невысоких
напряжений деформации не происходят.
Течение вязко-пластической массы в круглой трубе (диаметр 2Ь). Движение
осуществимо при условии, что градиент давления р - р (г) достаточно
нелик, именно
dp > 2о,
<>г ' >'зб '
Центральная часть массы при
2оу
= /•" =
движется как твердое тело; в деформируемой кольцевой зоне r0 ^ г ^ b
скорость возрастает по параболическому закону от нулевого значения на
стенке трубы (г = Ь) до максимального значения при г - гь. Профиль
скоростей при течении в трубе показан на рис. 16. Касательное напрнже-
b dp
ние максимально у стенки трубы г =
dz *
жастся до -~г- на границе недеформируемого ядра. Масса, протекаю шая в
единицу времени.
При ог - 0 отсюда следует известная формула Пуазейля.
Последовательное соединение вязкого и пластического элементов (рис. 16)
приводит к среде, обладающей следующими свойствами: при Oj < ог среда
течет подобно вязкой жидкости; при о4 - ог наступает пластическое
течение: напряжения не могут превосходить предел текучести.
Упруго-вязко-пластнческое гело. Включение упругого элемента в вязко-
пластическую схему позволяет учесть влияние упругих деформаций. Первая
упруго-вязко-пластическая модель (рис. 17, а) при напряжениях ниже
предела текучести (о, < ог) ведет себя как
Теория упруго-вяпких тел
^ируго-вязкая среда Максвелла; при - ar наступает пластическое течение -
напряжения не могут превосходить предел текучести.
Вторая модель (рис. 17. б) при напряжении ниже предела текучести (о, <¦
<7Т) является чисто упругой
Нелинейное упруго-вязкое тело. Сочетание упругого элемента -v нелинейно
вязким приводит к схемам, обобщающим среды Кельвина и Максвелла.
В первом случае (см. рис. 3) имеем agf
Рис. 15. Профиль скоростей Рис. IB. По- Рис. 17- Модели упруговязко-
пластического течения в следователь- вязко-пластической среды
трубе мое соедине-
ние вязкого и пластического злемен гов
Уравнения последнего типа широко используют в теории ползучести металлов
