Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
В теории пластического течения уравнения Прандтля-Рейс < 1(3) гл. 31
принимают вид
rfe - 3 kda 1- 3 adT-
XSvJ
си
1
1 л 1
" 3 2С
- fax
- 2ХТЖ;
(20)
здесь рассмотрен простой случаи, когда механические свойства не зависят
от температуры (см работу [4]).
В теории упруго-пластических деформаций уравнения (14) гл. перепишутся
теперь н форме
к зkc ЗаТ;
Гж - -j-f =fe: • - • ; Y*, = 2*т".
Условия текучести и упрочнения сохраняют прежний вид.
Так же, как и для равномерно нагретого тела, можно добиться в рл ? задач
значительных упрощений, если использовать критерий л закон
ассоциированного течения.
Вариационные уравнения для неравномерно пагретого тела. В теории упруго-
пластических деформаций для решения конкретных задач используют
вариационные методы. Приведем вариационные уравнения, являющиеся
обобщением уравнений (34) и (35) гл. 3.
Принцип минимума полной энергии. Действительные перемещения сообщают
полкой энергии тела минимальное значение
| И dV - | Тг dV - A - min, (31)
v v
где А - работа внешних сил; П - потенциал деформации (гл. 3).
Выполняя варьирование в уравпении (31), можно показать, что в случае
неравномерного нагрева определение перемещений v, и, к" сводится к
"обычной" изотермической задаче добавлением к заданным
объемным силам X, У, Zфиктивной объемной силы-- X * f - ~k ' 3 К заАаш,ым
поверхностным нагрузкам Хп, Yn, Zn -фиктивного нормального растяжения Т
(на части поверхности Sf)-
Напряжения при упруго-пластических деформациях 127
Этот результат аналогичен соответствующем-, результату для упругого тела.
Принцип минимума дополнительной работы. Действительное напряженное
состояние сообщает минимум дополнительной работе тела
где R - дополнительная работа (см. гл. 3).
Вариационные уравнения для упругого тела (8) и (9) являются частными
случаями вариационных уравнений (31) и (32).
Напряжения в неравномерно нагретом упруго-пластическом теле
можно представить в том же виде (5), причем компоненты сд т*г
удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и сплошности для
равномерно на| рс того тела при действии дополнительных к X, У. Z . а дТ
а дТ а дТ
фиктивных объемных СИЛ -----------7- '-Г~,---------Т '-С- на покеъх-
^ k дх h ду k дг 1
ности тела, кроме заданных нагрузок Хч% Y", 2п. действует фиктивное
нормальное растяжение ~ Т.
Приспособляемость неравномерно нагретых упруго-пластических тел. При
более или менее значительных циклических изменениях температурного поля
нозчожны нарастание пластической деформации или переменные пластические
деформации; последние приводят к разрушению вследствие "тепловой"
усталости. Можно указать так\'ю предельную амплитуду цикла, при которой
указанные явления не возникают. При этом тело приспосабливается к
колебаниям температуры, благодаря появлению благоприятного поля
остаточных напряжении.
Для неравномерно нагретого тела сохраняется теорема Милана (см. гл. 3):
необходимых! и достаточным условием приспособляемости
является существование такого поля остаточных напряжений сх..........
• - Ххг. что интенсивность о/ суммарного папряженного состояния
oxtOJ тхг + т?г (где cfx, . . тсхх - термоупругие напряжения)
не превосходит предела текучести сГ.
Рассмотрим свободное тело, испытывающее лишь циклический нагрев. В случае
регулярного теплового режима
где Т0 (С), р (0 - известные функции времени: это поле отвечает медленным
изменениям теплового режима. Термоупругне напряжения имеют Ьмд - ро?, . .
., т?г - рт^г, где о^, .... т(r)2 не зависят от времени; Другими словами,
о(r), .... - температурные напряжения в упру-
гом теле для стационарного теплового поля Т = Ф (х, у, г). Полагая = со(r),
. ., \xz - ст^2, где с - некоторая постоянная, находим но |"ореме Мела
на, что приспособляемость имеет место, если интенсивность термоупругих
напряжений не превышает удвоенного предела текучести.
v
г
(32)
Т - Т0 {*) + р {/) Ф (х, у, г); О "С р < р"
128
Термоупругость и термопластичность
Рассмотренная система - однопараметрическаи (параметр р). Боле*-сложен
анализ приспособляемости шюгопараметрическнх систем [7. 8 22, 23]. когда
изменяются температура и нагрузки.
Напряжения в свободной пластине, симметрично нагретой по толщине (рис.
5). Для ynpyi-ой пластины эта задача рассмотрена на стр. 122 Осноппые
обозначения и система координат сохраняются. Пусть пластина - - упруго-
пластическая, причем и пластических зонах справедливо условие ток \ чести
Мшс-са.
Тогда в этих зонах
Ох = су = - о,.
Пусть для определенности Т = - тогда Т - ~Т0 ив упруго"
пластине
ЕаП Г I / 2г \*1 *~I-v [ 3 \ А / Г
Наибольшие по величине напряжения будут вблизи оснований пласт нны
2 ЕаТ0
Приравнивая эту величину - о,, получаем температуру Т0
~ \ °т' П^И К0Т0Р01'5 в°зиикают пластические деформации. При
дальнейшем возрастании Г" образуются две пластические зоны с
< г в которых сх - Оу = ±ог. Из условий равенства нулю раз
нодействующсй напряжений ох и условия непрерывности сх при г - - с
находим
