Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
скорости деформации с точностью до гидростатического Давления о.
Нелинейно визкое тело (неньютоновская жидкость). При одноосном
напряженном состоянии (растяжении, сжатии) уравнение нелинейно вязкого
течения имеет вид
li = ч> (О,) о" ip (о,) > 0. (8)
131
Теория упруго-вязких та
Функции) <р (0|) определяют но опытным данным, она численно раин,, к-
лангенсу угла наклона секущей ОВ (рис 2. 6)
В сложном напряженном состоянии течение определяется уран пениями
S, - -§ 9 to) to - о); - • • 'W - <v (С,) К'|
где Of - интенсивность напряжений (при одноосном растяжении щ = сг,).
Уравнения этого типа используют в теории ползучести (см. гл. -1).
Пластичное тело при напряжениях ниже предела текучести не деформируется.
При достижении предела текучести сг развивается пластическое течение,
происходящее при постоянном напряжении
а, = ог. (10)
Это соотношение называют условием текучести (см. гл. 3). Пластическую
среду можно представить в виде элемента сухого (кулонопа) трения (рис. I,
в).
СЛОЖНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ТЕЛА (ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКО-УПРУГОСТЬ)
Реальные тела обладают одновременно упругостью, вязкостью, пластичностью
в различных формах и соотношениях Комбинируя рассмотренные выше простые
модели, можно вводить сложные среды, соответствующие поведению тех или
иных реальных материалов. Принято различать линейные и нелинейные тела в
зависимости от того, являются ли законы деформации линейными или
нелинейными. Решения задач для линейных тел существенно проще и обладают
многими простыми свойствами. Так, распределение напряжений (или
смещено.tj во многих случаях будет таким же, как в упругом теле (см. стр.
142).
Упруго-вязкая среда Кельвина (или Фойхта). Представим себе, что каждая
чястина тела состоит из упругого и вязкого элементов, соединенных
параллельно (рис. 3). Тогда напряжение будет складываться из напряжения,
определяемого упругой деформацией, и напряжения, вызываемого вязким
сопротивлением, т. е.
о, = ?в, +1*-^-- (С)
Интегрируя это уравнение, получаем
где е10-деформация в начальный момент времени t = 0; Т = -?-----
время релаксации. В состоянии покоя упруго-вязкая среда ведет себя как
упругая Г ибо ~ = 0 ). Если среде сообщить постоянную дафоТ'
Сложные линейные тела
13Г>
нацию (е, - const fn), то напряжение будет постоянным о, := ?ев; если в
момент t 0 задать постоянное напряжение Oj - const = 00,
то деформация постепенно нарастает, стремясь к значению по
показательному закону
0.
Эти сволотва показаны на рис. 3. О,к О,
€, = const=е0
D t
6, = const "=б0
г'ис. 3 Модель упруго-вязкой среды Кельвина
Если напряжение - заданная функция времени, то деформацию вычисляют по
формуле (12).
Модель упруго-вязкой среды представляет интерес для анализа затухания
колебаний, вызываемого внутренним трением (вязкостью).
Уравнения упруго-вязкой среды в сложном напряженном состоянии получают
сложением правых частей уравнений Гука (3) и Ныотона (7); среднее
давление о исключается при помощи соотношения (10) гл. 2. Если ввести
упругие постоянные Ламе (гл. 2).
Еу г.
I | v)(|_2v)> '
аналогичные коэффициенты вязкости
И дифференциальные операторы
Л = Х + Х' М=0 + 11-Цг
то уравнения деформирования упруго-вязкой среды можно записать в виде
ах = Ле + 2Мгх. . хХ2 = МуХ2. (131
¦нелогичном закону Гука в форме Ламе (гл. 2). Тогда дифференциаль йые
уравнения движения упруго-вязкой среды принимают вид
(Ри
де
13<)
Теория упруго-вязких, тл
где \ - оператор Лапласа, р - плотность, и. v, w - составляющие
перемещения: два других уравнения получают круговой перестановкой.
Уравнения (14) внешне аналогичны уравнениям Ламе в теории упругости (гл.
2).
Свойства колебаний. совершаемых упруго-вязким телом, можно
проиллюстрировать па примере продольных колебаний ynpyro-вязксп о
стержни, описываемых уравнением
&*и д'ги f3 ffAu __
~W~~3&~~ Ж ¦
где
1 -; ь=уИ.
* Р г Р
Если вязкость значительна, то колебания невозможны, возмущение просто
затухает. Если вязкость не столь велика, то продольные колебания
складываются из конечного числа затухающих гармонических колебаний и
"хвоста" апериодических затухающих движений. Затухание отдельных гармоник
неравномерное: чем выше гармоника, тем быстрее она затухает. По истечении
некоторого времени стержень будет колебаться в основном тоне.
Упруго-вязкая среда изучена Фойхтом, Томпсоном, Герасимовым и др.; см.
работы [1, 6] и обзор Бленда [3 ].
С С
?, = const =С0 Gj = const = 6 о
Hue. 1. Модель релаксирующей среды Максвелл i
Редактирующая среда Максвелла. Пусть упругий и вязкий элементы соединены
последовательно (рис. 4), тогда надлежит складывать скорости деформации,
отвечающие одному и тому же напряжению, т. е,
riei _ 1 dGi , Qj,
dt ~ Е dt 1 и
Интегрируя это уравнение, получаем
Сложные линейные тела
137
где О|0 - напряжение в начальным момент времени / =- 0; Т -----------
время релаксации.
Рели сообщить среде постоянное напряжение о, - const - о0
в момент / =0, то она получит мгновенную упругую деформацию ,
