Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Губера-Мизеса в теории пластин ности. Подробнее об опытных данных н
приемах расчета с учетом различных факторов см. в работах (12, 14, 15].
УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ КАК СЛУЧАЙНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Процесс накопления усталостных повреждений можно трактовать как случайный
процесс марковского типа с непрерывным множествен состояний и дискретным
временем. Вероятностные характеристики такого процесса к концу л-го цикла
иагружения могут быть выражены через характеристики п - 1-го цикла и
некоторые переходные вероятности, зависящие от механизма процесса и от
нагрузки n-го цикла. Эта концепция была предложена впервые в книге [б].
Разрушение как случайный марковский процесс
155
Модель процесса накопления усталостных повреждений. Рассмотрим стержневую
систему, изображенную на рис. 5 и находящуюся под действием повторных
натрузок. Механические свойства ее элементов (модули упругости и
упрочнения, предел текучести, сопротивление отрыву и т. д.)
предполагаются случайными величинами, что позволяет моделировать
случайную структуру поликристаллического материала. При верном нагружении
пластические деформации возникают н наиболее слабых и наиболее натуженных
элементах, а после снят я нагрузки возникает система остаточных
напряжений. Повторные натруже-иия изменяют эту картину: в отдельных
элементах происходит процесс упрочнения, пока местное напряжение не
достигнет величины сопротивления отрыву для данного элемента. Разрыв
единичных элементов соответствует появлению суб-микроскопических трещин
при усталостном разрушении Процесс выхода из строя одного элемента за
другим моделирует процесс развития прогрессирующей усталостной трещины.
Наибольшее значение периодической нагрузки (при заданном режиме ее
изменения), при котором еще имеет место упруго-пластическая при
способляемость системы, соответствует пределу выносливости для
иоликристат-л и чес ко го тела. Таким образом, модель передает наиболее
существенные черты усталостного разрушения |6|.
Математическое описание процесса усталостного разрушения. Допустим, что
механическое состояние каждого элемента можно охарактеризовать конечным
числом парамефОВ, которые являются случайными величинами. Общее число
элементов - также случайная величина, уменьшающаяся в результате обрыва
отдельных элементов. Состояние системы будем считать заданным, гели
известна совместная плотность вероятности для перечисленных случайных
параметров, которые обозначим через qlt q.2 у,п. Допустим, что известна
плотность вероятности рп (qly </2 Чт) Для состояния, наступающею после
гг-го цикла нагружения. Плотности вероятности для п + 1-го и п-го циклов
связаны между собой соотношением
Pn,i {41- 9* • ¦ -" 9т) = J - ( Р (9i. 9г. - • 9л. I ri. 'г-
¦ •
- rm- esn+i) р" (г,, Гг. .... rm) dr idr a, . drm] (7)
здесь P (q1, qz, . qmj rt, r2....rm; oWI) - ядро, характеризующее
распределение переходных вероятностей; оно должно, очевидно, зави-
сеть от параметра нагрузки п + 1-го цикла, обозначенного через оя+,
Уравнепие (7) - кинетическое уравнение, описывающее необратимый процесс
накопления усталостных повреждений [6]. Основная трудность состоит в
построении ядра
Р (9i. 9г> ¦ - •" Ят\г1г Т2- ¦ - rm-
1 m
Рис 5 Механическая модель для описания процесса накопления усталогтпых
повреждений
Элементы теории усталости
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ
Общая формулировка статистических свойств кривой усталости.
Эта формулировка состоит в задании совместной функции распределении F (a,
N), равной вероятности усталостного разрушения при числе циклов, меньшем,
чем N и характерном напряжении цикла, меньшем,
чем о. На плоскости N, п эта вероятностная зависимость может быть
представлена в виде семейства кривых N - N (о, р), каждая из которых
соответствует некоторой одной и тон же вероятности разрушения р. Такое
семейство показано па рис. б. Здесь о0 - наименьшее напряжение, при
котором еще возможно усталостное разрушение.
Вместо функции распределения F (о, А;) можег Рис Семейство кривых
усталости, соот- оказаться удобнее рас вегствующих равной вероятности
разруше- сматривать соответству-ния р ющие условные функции
распределения F (о J А') и F (N1 о). Первая из них равна вероятности
обнаружить разрушающее напряжение, меньшее чем о, если число циклов равно
в том ности N. Вторая функция распределения равна вероятности разрушения
при числе циклон, меньшем чем N, если напряжение ранно в точности о
Обе кривые распределения гюлуиются сечением поверхности F ~= - F (о, АО
соответствующими плоскостями (см. рис. 6). Вид плотностей условных
вероятностей р (о| АО и р (N Jo) показан на рис. 7. Подрой нее см. (1, 6,
16, 221.
Основы статистической теории. Изложим статистическую теорию, позволяющую
иредсказать время до образования прогрессирующей макроскопической
трещины. Рассмотрим деталь или элемент копструк ции, находящиеся в
сложном напряженном состоянии. Пусть все компоненты тензора напряжений
заданы с точностью до общего множителя о и пусть оf (х, у, г) -
