Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ядра от разности t - т соответствует тому, что "память" материала о
силовом воздействии, произведенном в момент т, определяется истекшим
временем / - т. Это обстоятельство имеет важные следствия. В частности,
если одна из величин (например, напряжение о1) изменяется периодически,
то другая (е,) через некоторое время также будет изменяться с тем же
периодом
Пусть в момент I - 0 приложено постоянное в дальнейшем напрнжс ние (0 -
<*!)• тогда
Рж. Я. Поведение наследственной среды при нагружении и разгрузке
(/ - I) 1)т "- о"
(21)
Эта зависимость показана на рис. 9 линией А В.
Дифференцируя выражение (21). находим, что ядро ползучести
пропорционально скорости ползучести при постоянном напряжении:
1 rfei
п" '1Г'
Qi 0-
/22"
В момент нагружения ((= 0) скорость деформации обычно очень велика и
часто принимают, что Q (0) -> оо. Характер этой особенности по опытным
данным определить трудно, в связи с чем необходимо привлекать
дополнительные данные.
Пусть постоянное напряжение о, = const = о0 действовало в интервале
времени 0 ^ i^ ix, а затем было снято, тогда деформация при i^> tj
уменьшается (обратная ползучесть, восстановление), величина ее будет
= о0 I Quit
т) dx = о0 | Q (s) ds
Эта зависимость на рис. 9 показана линией CD.
Уравнение Больцмана содержит в себе, как частные случаи, рассмотренные
выше дифференциальные зависимости и приводится к ним при том или ином
выборе ядра.
Сложные линейные тела
1-11
Если задана деформации = e.t (/), то напряжение находят из уравнения
(20), которое в этом случае будет линейным интегральным уравнением
второго рода типа Вольтерра. Решение его имеет вид t
a, (t) Lt-i (/) - f /?(/ - т) е, (т) dr. (2-1)
О
где R {I - т) - резольвента ядра Q {( - т)
Если в момент / - 0 стержень получает удлинение f0. которое при (.>0
остается неизменным, то
tfi (0 =- Ра ? - j R(t -т) dr j - е0 ? - I /? (s) ds j.
Дифференцируя, находим, что R (t) пропорционально скорости релаксации
"Ч
Функцию R (t - т) называют ядром релаксации.
Уравнения Больцмана можно записать в более компактной форме, если ввести
линейные временные операторы
EJ=Ef-\ R[t-T)fdx={E- /?")/;
6
I
rr-'l = 4-/ J- f (I It - Vi <lx = + Q.) /-
Тогда уравнения (20) и (24) принимают вид
(26)
внешне аналогичный закону Гука.
При частных формах ядер можно получить рассмотренные ранее более простые
модели
? - -
' При R (t-т) -у- е т из выражения (24) следует уравнение
. Максвелла (15).
Если ядро представить приближенно суммой экспоненциальных функций
^ ^ Тм
(=1
Теория упруго-вязких тел
то материал объединяет свойства л максвелловских элементов. Релаксация в
нем протекает согласно уравпению (18). При этом уравнение Больцмана (24)
эквивалентно дифференциальному соотношению (17) (при некоторых
дополнительных условиях).
Приведем некоторые другие виды ядер:
Q (/ - т) = ( --. а- постоянная;
Q (/ - г) -----------------, 0 < а < 1 (абелево
ядро);
U - т)"
_
ае Т
Q (г - т) , Т. а - постоянные.
(/ - т)°
При переходе к сложному напряженному состоянию ограничимся рассмотрением
случая несжимаемого тела ^ v = Тогда (вместо закона Гука) будут линейные
соотношения Больцмана
2 I
ох - а = - ?"ел; ..тхг = - Ету". (27)
или. обратно.
^ = -§-?7' (о. -о). (28)
здесь а - среднее давление.
Приведенные формулы внешне аналогичны формулам обобщенного закона Гука,
упругие константы заменены операторами (по времени)
?,• 1
Принцип Вольтерра [7, 8]. В теории линейных сред важное значение имеет
принцип Вольтерра. позволяющий широко использовать решения задач теории
упругости при разыскании решений соответствующих задач для наследственных
сред.
Для получения полпой системы уравнений к соотношениям (27) или (28) нужно
присоединить дифференциальные уравнения равновесия и неразрывности,
содержащие производные по пространственным координатам. Так как операции
дифференцирования и интегрирования по пространственным координатам и
времени переместнтельпы. можно указать следующий способ решения.
Пусть на поверхности тела заданы либо поверхностные нагрузки {как функции
времени и координат точек поверхности), либо перемещения. Решаем
соответствующую задачу теории упругости. В конечных формулах заменяем
упругие константы соответствующими операто рами. В дальнейшем для
наследственной среды необходимо лишь росши фровочпь полученные
операторные выражения. Отсюда вытекает важное следствие.
Сложные линейные тела
Если решение упругой :шдичи или часть его {например, поле напряжений) не
зависит от упругих постоянных, то тю рсчнпис справедливо и для линейной
наследственной среды.
Принсдс иные формулировки часто позволяют получить быстрый и простой
ответ на вопрос о напряжениях н деформациях д* rar.eii из линейно
наследственного материала.
Приведем несколько примеров.
сЬ иЗ
где М - изгибающий момент; J - момент инерцнн Следовательно, i напряжения
будут и е ба.пке из линейно наслсдстпииного материала IJ. зависит от
модуля Юнга, для нсупругой балки прогиб будет расти со временем.
