Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентное с точки зрения выбран-
Статистическая теория усталостного разрушения 157
иой теории прочное га максимальное во времени напряжение в произвольной
точке. Развитие макроскопической трещины может начаться лишь после
разрушения некоторой слабейшем совокупности зерен. Предположим, что
каждая такая совокупность (первичным элемент) обладает индивидуальной
кривой усталости. Параметры этих кривых для статистического ансамбля
первичных элементов, вообще говоря, являются случайными величинами,
совместная функция распределения вероятностей для которых предполагается
заданном. Далее можно вычислить вероятность события, состоящего в том.
что в заданном доста точно малом макрообъеме найдется хотя бы один
первичный элемент, разрушающее напряжение для которо! о будет меньше, чем
of (х, у, г) Однако не всякий зародыш должен превратиться в
прогрессирующую трещину.
Услониая вероятность образования макроскопической трещины из зародыша,
расположенного в окрестности выбранном точки, очевидно, зависит от формы
образца и от типа напряженного состояния. Эту вероятность можно найти из
дополнительных соображений. Здесь мы будем считать ее известной.
Пример реализации статистической теории. Составим выражение для функции
распределения F (о, Л) при следующих предположениях. Пусть индивидуальная
кривая усталости для первичного элемента имеет вид
N - А'о -f Nc (------~=~)т •
\ о, - о0 /
где Л;0. Nc, ст0 u т -детерминированные неотрицательные константы; <TS-
случайная величина с функцией распределения F(o1). Предо о-ложим, что при
<ji, близких к нулю, эта функция может быть анпрокси' мирона на при
помощи выражения
F (<М " са°-.
здесь с и а - некоторые положительные константы. Число первичных
элементов л в единице объема будем считать достаточно большим, а функцию
f (х, у, г) и вероятность образования макроскопической трещины из
зародыша Р (х, у, г) будем считать достаточно медленно меняющимися
функциями координат. Для функции распределения F (о, Л') получаем формулу
16]
X Р (х, у, г) dVJ ; (8)
здесь р = -Щ-; V0 - некоторый эталонный объем, например объем
стандартного образца; ос - некоторое характерное напряжение (константа
материала), выбираемое из условия
Элементы теории усталости
В формуле (8) интегрирование и рои а водят по той части объема V . в
которой а/ (х, у, г) > о0- В случае однородного напряженного состоянии и
вероятности образования макроскопической трещины из заро дыша, постоянной
во всем объеме, из формулы (8) получаем двойное распределение Вейбулла
[16].
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ
Среднее разрушающее напряжение. Величину этого напряжения о при заданном
числе циклов N определяют по формуле
' дГ (о | Л')
J до
Од
Подставляя сюда выражение (8), получим
- a da (9)
Б-°" - J"p[ап' (|Сч
ов
*)dl/ ,1П
В первом приближении можно с большой достоверностью положить, что
макроскопическая трещина развивается из зародыша, расположенного в точке
некоторого объема У, и не развивается, если точка лежит вне этого объема.
Иначе говоря, Р (х, у, г) - 1, если точка лежит в V,, в противном случае
Р (х, у. г) = 0. По-нидимому. объем У, совпадает с поверхностным слоем,
глубина которого по порядку величины равна десяткам характерных размеров
первичных элементов. При этих предположениях для макроскопически
однородного напряженного состояния формула (10) принимает вид
5-*|Ч'?)Чтп^),"г(,+-т)' <¦*>
где Г (х) - гамма-функция. Для напряжений о (р), соответствующих заданной
вероятности разрушения р, имеем формулу [6]
-1 1
(Ун \ О / .Vr \т -
тг) (-n^nT) ,м
где г = -In (I - р). Формулы (12) и (13) описывают явную зависимость
разрушающих напряжений от характерного объема детали V,. Имея семейство
эмпирических кривых усталости для различных вероя гностей
Применение статистической теории 159
разрушения и используя формулы (12) и (13), можно подобрать значения
параметров о0> ос. Nc, тики I'*.
В случае, когда о0 - Л'0 = 0, формулы (12) и (1,3) описывают семейство
степенных кривых усталости (см. табл. 1). Пусть Nх -база испытаний.
Предел выносливости о,. определяемый как среднее разрушающее напряжение
на базе Nt, составляет
(4f) •'(|+-")-
Для напряжений по формуле (13) получаем 1
о(р)-о,(-^-),П <р(а, р),
, , г- In (I Р)1"
<р (а, р) = -- ----------------------
г0^)
Разброс прочности при действии циклических напряжений. Это явление может
быть охарактеризовано дисперсией (а - о)2. Здесь
-г f~gf(pJAOo?rio (14)
3 Подстановка сюда формулы (8) Дает искомую формулу, которую мы
К здесь не выписываем. При предположениях, при которых была выведена <
формула (12), получаем
I Л[г(|+4)-гг('+-^)]2- <15'
?- Формулы (12), (13) и (15) остаются в силе и для неоднородного
иапря-
Щ- женного состояния, если ст0 < ст. Вместо объема в эти формулы следует
% подставлять приведенный объем
= (' Г iV (16)
-S Эффективный коэффициент концентрации. Этот коэффициент есте-
j.. ственно определить как отношение средних значений разрушающих а
