Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. ТЕПЛОВАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ
Рассмотрим систему, на которую воздействуют термодинамические силы, являющиеся гармоническими функциями времени. Обобщенные силы Q, можно записать в виде Qi exp (iat), где Q, — комплексная амплитуда
59
Аналогично, обобщенные координаты, представляющие стационарно-периодическую реакцию системы, необходимо заменить на qi exp (mt) с комплексной амплитудой qi. Применив общие уравнения (2.3.14) для линейной системы, находим величины qi из решения алгебраических уравнений
iaii 4~ pbg) qi = Qi, (3.2.1)
где
р = т.
Физический смысл такого периодического решения станет ясным, если допустить, что гармонические силы включаются в момент ^ = 0 и воздействуют на невозмущенную систему (<7г = 0 для t<0). Отклик системы состоит из периодического и переходного решений. Переходный режим описывается выражениями (2.4.12), которые обычно содержат экспоненциально убывающие и постоянные члены. Следовательно, по истечении довольно большого промежутка времени стационарный отклик системы описывается суперпозицией гармонических решений и постоянных величин. Наличие постоянных членов в функции отклика системы в стационарном состоянии объясняется тем, что переходный режим может вызвать достаточное тепловое смещение, которое остается конечным с течением времени. Математически это обусловлено неопределенностью теплового потенциала и существованием нулевых значений постоянных релаксации.
Вследствие положительной определенности диссипативной функции определитель из коэффициентов bij не равен нулю. Следовательно, определитель для уравнений
(3.2.1) также отличен от нуля. Поэтому можно решить эти уравнения относительно qЗапишем:
qi=='21AijQj- (3.2.2)
Коэффициенты образуют комплексную матрицу тепловой восприимчивости системы. Из соотношений ац = = ан и Ьи = Ьц следует:
Aij=Aji. (3.2.3)
Таким образом, матрица тепловой восприимчивости симметрична.
60
Общая форма тепловой восприимчивости. Элементы матрицы являются мероморфными функциями р. С помощью простых дробей можно получить общее выражение для этих функций, если ввести нормальные координаты [Л. 3-1]. В соответствии с уравнениями (2.5.16) переход от нормальных координат к координатам записывается в виде
= (3-2.4)
Силы Es, сопряженные с нормальными координатами, даются уравнениями (2.5.32). Они имеют вид:
Se=2?fQi. (3.2.5)
Нормальные силы и нормальные координаты связаны уравнением (2.5.33). Для гармонической зависимости от времени эти уравнения запишутся в виде
},sls+pls = Es (3.2.6)
или
(3-2'7)
Объединив уравнения (3.2.4), (3.2.5) и (3.2.7), получим:
i, Л 9(?> 9(s>
<3'2-8)
Сравнивая полученные уравнения с уравнением
(3.2.2), видим, что тепловая восприимчивость является матрицей, состоящей из элементов
<3-2-9)
Следовательно, мы получили разложение Aij на элементарные дроби. Существование кратных корней Xs характеристического уравнения позволяет выразить величины Aij в другой форме. Обозначим с помощью Xs корень кратности к. В этом случае Xs входит k раз в сумму
(3.2.9). Корни Ks связаны с k значениями cp(s+s'>i, где s' принимает значения от 1 до k. Полагая
C'") = 2tP'S+S'>tP'S+S'). (3.2.10)
Яг
61
Запишем выражение (3.2.10) в виде
s C(s)
= (3-2.11)
S
В этом случае суммирование ^ проводится по несовпадающим значениям Я8.
Интересным свойством коэффициентов является
неотрицательный характер соответствующей квадратичной формы, которую можно получить из рассмотрения тождества:
=2С?>* <3212>
из которого следует неотрицательность квадратичной формы.
Внутренние координаты. В некоторых задачах нас будет интересовать поведение только небольшого числа координат функции отклика в результате воздействия соответствующих сил. Например, на некоторое число областей на границе воздействуют тепловые силы. Рассмотрим k таких областей, обозначенных Sb S2, . . ., Su, и будем считать, что температуры 04, 02, . . ., 0ь приложены к границам областей, причем все они имеют постоянную амплитуду. Она является комплексной величиной, представляющей гармоническую функцию времени. Предполагается, что система характеризуется поверхностным коэффициентом теплообмена и что приложенные тепловые силы можно выразить с помощью адиабатических температур, как показано в § 2.2.
Обобщенные координаты делятся на две группы. Для обобщенных координат qu q2, ¦ Ци можно взять средние нормальные тепловые смещения Hi, Н2, ¦ ¦ ¦, Ни, равномерно распределенные в каждой области. Эта первая группа будет называться внешними координатами. Если смещения Ни Hi, . . ., Ни выбраны положительными и направленными внутрь областей, соответствующие тепловые силы имеют вид:
Qi = Sf0i; Q2=s202, ..., Qu = ShQh. (3.2.13)
Вся система представлена п обобщенными координатами (ti>k). Поэтому имеется (п—k) дополнительных
62
координат, описывающих поведение системы. Они выбираются таким образом, чтобы соответствующее тепловое смещение в областях Sb S2, .. ., Sh либо равнялось нулю, либо имело такую величину, чтобы его средняя нормальная компонента для каждой области равнялась нулю. Координаты этой группы мы будем называть внутренними координатами. Величины (п—k) тепловых сил, связанные с этими внутренними координатами, равны нулю.
