Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
.Dc = const (2.4.14)
является типичной задачей вариационного исчисления. Ее решение получим, приравняв нулю вариацию без ограничения
<5(Kc+pDc)=0, (2.4.15)
где постоянная р является неопределенным множителем Лагранжа.
В явном виде выражение (2.4.15) запишется i/
2 («<з + Pbu) CjSC\ = 0. (2.4.16)
Это необходимо проверить для произвольных значений вариаций
6 С;. В результате получим соотношения
(/>
2(^ + PMQ=0, (2-4.17)
эквивалентные уравнениям (2.4.3). Следовательно, с помощью вариационного принципа (2.4.13) и (2.4.14) можно получить эквивалентные релаксационные моды. Соответствующие значения множителя Лагранжа р являются корнями характеристического уравнения
(2.4.4).
2.5. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Рассмотрим две релаксационные моды
qi = C(yKi , <7,=<V"V (2.5.1)
с различными постоянными релаксации
ks^hr. (2.5.2)
Они удовлетворяют уравнениям
I (/>
2 (ацС™ - = 0; 2 (ацС{;} ~ = 0. (2.5.3)
46
Умножив первое уравнение (2.5.3) на С^ и просуммировав результат по г, получим:
2 (ацС^С? - hbaCfC{?) = 0. (2.5.4)
Аналогично, умножив второе уравнение (2.5.3) на С^\ получим:
2 (ацС{рС{*}— XAiC^Cf) = 0. (2.5.5)
Теперь вычтем уравнение (2.5.5) из уравнения (2.5.4) с учетом свойства симметрии коэффициентов (а{^ = а^, bij = bji). В результате получим:
(Я. — Я,) ЬцС?С?= 0. (2.5.6)
Поскольку из (2.5.6) следует:
2^Cf>Cf = 0. (2.5.7)
С учетом уравнения (2.5.4) это также означает
2^,С1(Г,С;*) = 0. (2.5.8)
Соотношения (2.5.7) и (2.5.8) являются хорошо известными условиями ортогональности, которые удовлетворяются характеристическими решениями систем, определяемых парой квадратичных форм.
Условия ортогональности можно выразить с помощью нормированных амплитуд релаксационных мод, что следует из условия нормировки (2.4.11). Подставив значения C<s) из (2.4.10) в соотношения (2.5.7) и (2.5.8), получим условия ортогональности релаксационных мод в виде
2 b^yf = 0; 2 ЪяУ? = 0. (2.5.9)
При выводе свойства ортогональности предполагалось Xr=/=XS. Однако это свойство можно распространить на моды с одинаковыми постоянными релаксации. Рассмотрим, например, k мод <p*s) (s = m+1, m+2, ..., m+k), входящих в общее решение (2.4.12) с одинаковыми по-
47
стоянными релаксации к. Можно показать, что выбор представляющих эти моды, не является однозначным и может быть использована любая система независимых базисных векторов. Легко проверить, что они всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворить первому соотношению (2.5.9). Вследствие уравнения (2.5.4) второе соотношение (2.5.9) удовлетворяется автоматически.
Введем скалярные и векторные поля
i i 0(S)==20(I'4S); Н<8> = 2Н(1)?Г> (2.5.10)
где 0W и HW — поля, описываемые уравнениями (2.3.3)
и (2.3.1). При таком представлении полей температуры
и теплового смещения релаксационные моды запишутся в виде
-1 t -х г
Ъ = СЩ(°)е 8 ; Н = С<'Щ(*>е * • (2.5.11)
Следовательно, 0(s> и H<s) можно считать нормированными полями, определяющими характеристические решения.
Рассмотрим два температурных поля 0<г> и 0<s>, соответствующие релаксационным модам с различными постоянными релаксации. Находим:
Щев<г>в<">* = 0. (2.5.12)
Это легко проверить, если вместо 0W и 0М подставить выражения (2.5.10) с учетом (2.3.7) для ац и условия ортогональности (2.5.9).
Аналогично в случае изотропной теплопроводности, используя значения Ьц из (2.3.10), выводим:
jj j ХН<Г,Н(,,Л + j]-X Н'УУА = °- (2.5.13)
* А
Поэтому уравнения (2.5.12) и (2.5.13) выражают свойства ортогональности релаксационных мод с помощью полей, характеризующих эти моды.
Для анизотропной теплопроводности условие ортогональности (2.5.13) заменяется выражением
Ш S + lCHnHndA = 0- (2.5.14)
* А
48
Нормальные координаты. Рассмотрим линейную систему, описываемую п обобщенными координатами qi и двумя квадратичными формами
Ч Ч
v = ~yJ^ anqiqr, D = ~ Ьщuqj. (2.5.15)
Форма D является положительно определенной. Одна из основных алгебраических теорем утверждает [Л. 2-5], что если D положительно определенная форма, то можно найти неособенное преобразование п переменных qi в п переменные таким образом, что V и D будут суммой квадратов Это преобразование имеет вид:
= (2-5Л6>
Неособенным преобразованием называется такое преобразование, когда детерминант коэффициентов порядка пХп не стремится к нулю. Следовательно, значения qi не могут быть равны нулю, если все значения gs также не равны нулю. Эта теорема утверждает, что существует такое преобразование (2.5.16), для которого V и D будут:
v = -rYlXsVs’ (2'5Л7)
Кроме того, значения Xs суть п корней характеристического уравнения
det|aij—%Ьц\ =0. (2.5.18)
Все корни этого уравнения действительны. Поскольку V принято здесь положительно полуопределенной формой, значения Ks не могут быть отрицательными. Однако некоторые из этих значений могут быть нулевыми, в этом случае квадратичная форма содержит число слагаемых V меньше п.
Эта теорема не требует, чтобы значения Xs были строго различными. Может существовать любое число равных значений, соответствующих кратным корням характеристического уравнения с любой кратностью. Переменные gs определяют нормальные координаты. В этих пе-
