Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
в момент /=0 будут:
2?0О ( k qn = ~^(}-e »);?.=—0«*. (2-7.14)
Подставив эти значения в выражения |(2.7Л) и (2.7.2), получим зависимые от времени разложения Фурье для Н и 0:
п )
к- 2?0О VI 1 — >¦ t тх
/,=_в.< + -г1-\]1_( i-e ) cos —j— ;
/
(2.7.15)
С течением времени эти значения стремятся к стационарному решению. Для t=oo -предельные значения H = dH/dt и 0 будут:
п
fe0„ 290 1 тх [ х \
" = -r; e = -^-2]-rsln—= в°(1—г)- (2.7.1б)
Полученное предельное значение 0 является хорошо известным разложением в ряд Фурье линейной функции 0о(1—х/1). Эта линейная функция описывает стационарное распределение температуры в пластине при граничных условиях 0 = 0о при х=0 и 0 — 0 при х=1. Предельное значение H=kQo/l является также стационарной плотностью теплового потока через стенку. Оно иллюстрирует физический смысл координаты
<7о = ““Г 0о^. (2.7.17)
являющейся линейно возрастающим тепловым смещением в пластине в стационарном состоянии.
Слабые решения. Обратим внимание на одну важную особенность выражения (2.7.15) для 0. Вследствие того, что ряд Фурье для
0 обращается в нуль при *=0, граничное условие 0 = 0q в этой точ-
57
ке не удовлетворяется никогда. Однако в точке х, расположенной бесконечно близко к началу координат, значение температуры мгновенно возрастает до 0о. Следовательно, если исключить точку х = 0, граничное условие 0 = 0О удовлетворяется. Здесь мы имеем дело с хорошо известным случаем неравномерной сходимости ряда Фурье. Используя математическую терминологию, можно оказать, что решение несправедливое в конечном числе точек, существует почти всюду. Такое решение иногда называется слабым решением. Имеются также случаи, когда решение несправедливо для бесконечного ряда точек, при условии, что этот ряд имеет нулевую меру. Такие слабые решения типичны для задач, которые решаются с помощью нормальных координат. Однако они не теряют своего физического смысла, поскольку точками, в которых они справедливы, можно пренебречь. Это явление иллюстрирует математические трудности, возникающие при решении физических задач при введении понятия континуума. Действительно, с точки зрения физики понятие континуума довольно искусственно, и эти трудности обычно исчезают при рассмотрении физической сущности задачи.
Решение, удовлетворяющее граничному условию, можно получить, представив выражение (2.7.15) для 0 в виде
Это решение можно получить непосредственно, применив метод, описанный в § 2.6, с использованием стационарного решения и поправок, найденных с помощью нормальных координат. Это решение быстро сходится для больших значений t. Как уже отмечалось, решения такого типа, являющиеся комбинацией стационарного поля и поправок, обусловленных нестационарностями, обычно из-за требований быстрой сходимости применимы для медленно изменяющихся температур.
Другим примером решения такого типа является выражение
(1.7.12) для второй стадии нагрева пластины с теплоизолированной поверхностью при х = 1. Стационарная часть решения в этом случае является постоянной температурой 0О по толщине пластины.
Операционный формализм, введенный Хевисайдом, является эффективным средством для анализа линейных тепловых систем. Он применим к большому классу задач, в которых физические свойства систем не зависят от времени и температуры. Операционный метод содержит несколько разных, но взаимосвязанных математических теорий. В частности, как показано автором в рабо-
П
(2.7.18)
Глава третья
ОПЕРАЦИОННЫЙ ФОРМАЛИЗМ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
58
те по термодинамике необратимых процессов, существуй! возможность вывода вариационных принципов в операционной форме.
В § 3.2 и 3.3 вводятся понятия тепловой восприимчивости и полного теплового сопротивления для гармонической зависимости от времени. Это приводит к понятию внутренних и внешних координат тепловых систем и позволяет получить общие выражения для тепловой восприимчивости и полного теплового сопротивления, которые представляются в виде разложений по элементарным дробям.
Применение преобразований Фурье и Лапласа для расчета нестационарных тепловых полей рассматривается в § 3.4. В § 3.5 показан переход от этих методов к основному операционному формализму. Особое внимание уделяется использованию «обобщенных функций» для упрощения и обобщения операционных методов.
Эти результаты позволяют вывести вариационные принципы в операционной форме. Как показано в § 3.6, формулировка этих принципов содержит методы, соответствующие трем различным подходам: операционному, алгебраическому и формулировке свертки.
В § 3.7 вариационный принцип развивается для взаимосвязанных систем. Он позволяет сформулировать уравнения для сложной системы с известными тепловыми сопротивлениями подсистем. В результате приходим к аналогу общей теоремы механики, в которой внутренние силы можно, исключить с помощью понятия виртуальной работы. Предлагается также ииая форма этого принципа. Из рассмотренных вариационных принципов легко вывести один из вариантов метода «конечных элементов».
В § 3.8 приводится пример применения операционного метода для решения одномерной задачи теплопроводности. Там же показано, как для неограниченной системы ввести понятие тепловой восприимчивости, описываемой с помощью непрерывного спектра постоянных релаксации.
