Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Когда к областям Slt S2, .. Sk приложены тепловые силы Qи Q2, • •, Qh, внешние координаты можно выразить с помощью этих тепловых сил в виде
k
= 2, ..., k). (3.2.14)
/=-1
Внешние координаты не описываются этим выражением. Система является «черным ящиком», внутренняя структура ее представлена только математическими свойствами элементов тепловой восприимчивости Ац, зависящей от р.
Свойство взаимности. Рассмотрим две внешние области Si и S2, нагретые соответственно до температуры 01 и 02. Среднее тепловое смещение через поверхности Si и S2 обозначим через <7i = #i и <72 = #2. Их положительные значения соответствуют направлениям внутри областей. В этом случае соответствующие тепловые силы будут Qi = Si0i,Q2=S202. Тепловое смещение через поверхность S2 в результате воздействия температуры 0t на Si равно:
H^AziSSi. (3.2.15)
Аналогично тепловое смещение через поверхность Si, обусловленное воздействием 02 на S2, будет:
tfi=42iSi0i. (3.2.16)
Элементы восприимчивости удовлетворяют соотноше-
нию симметрии
Ai2=Azi- (3.2.17)
Следовательно, если 01 = 02, получим свойство взаимности
tf2S2 = tfiSi. 63
(3.2.18)
3.3. ПОЛНОЕ ТЕПЛОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Естественно, что уравнения (3.2.14) для внешних координат q\, q2, . . ., выраженных с помощью сопряженных тепловых сил Qb Q2, • • Qk, являются общими и могут применяться везде, где остальные тепловые силы считаются равными нулю
Qh+l = Qk+2= ¦ ¦ • =Qn = 0. (3.3.1)
Тепловая восприимчивость в уравнениях (3.2.14) является матрицей kXJt. Разрешив эти уравнения относительно Qj, получим: k
Qi = 2 Ziiqi (l’—k)- (3.3.2)
/=1
Матрицу из комплексных коэффициентов назовем полным тепловым сопротивлением системы. Поскольку Аг; = Ац, имеем:
Zi3 = ZH. (3.3.3)
Представляет интерес найти выражение для Z;j в виде разложения на простые дроби, аналогичное уравнению (3.2.11).
Для того чтобы получить эти выражения, рассмотрим подсистему, описываемую координатами qu+1. qh+2, ¦ •qn [Л. 3-1]. При описании системы можно вместо (п—k) координат использовать нормальные координаты gfc+i, c.k+2, • • •, fen подсистемы. С помощью этих новых координат тепловой потенциал и диссипативная функция всей системы запишутся в виде
ij is s )
V = ~2~ cutfiqi -Ь (I'isq&s -|—2~ rJ
и (3.3.4)
D = 4" J] baqtqi 4- 4" j *
(S)
S2
&•
В этом суммировании i и / изменяются от 1 до /г, a s принимают значения от k+\ до п. При использовании этих новых переменных уравнения Лагранжа разделяются на две группы: dV , dD
Нормальные силы Ss даются уравнениями (2.5.32). Следовательно,
т
<3-3-6)
где s и т принимают значения от k+\ до п. В соответствии с соотношениями (3.3.1) значения Qm равны нулю.
Из этого следует, чг-j
Es=0. (3.3.7)
Для гармонической зависимости от времени уравнения (3.3.5) запишутся в явном виде как
s%s==Qu —f— (р —f— ^s) = 0, (3.3.8)
где
Вц = ац+рЬц\ B'is = a'is + pb'is. (3.3.9)
Мы можем разрешить относительно gs вторую группу уравнений (3.3.8)
Ss = — yJ!!j±-qi. (3.3.10)
^ Р + г«
Подставив это значение в первую группу уравнений
(3.3.8), получим:
Qi — ZgQi> (3.3.11)
где
<з-зл2х
Это выражение можно легко свести к постоянной величине, пропорциональной р и сумме простых дробей Cs/(p + rs).
Однако представляет интерес вывести несколько иное выражение для Z^, соответствующее аналоговой модели, описанной автором в работе по термодинамике необратимых процессов [J1. 3-1]. Выражение для Z{j получается после подстановки в формулу (3.3.12) значений В'is и В'iS из (3.3.9)
Ь* ? —+7Г + Dij + Diip- (3‘3,13)
5—IQ50 Q5
При этом необходимо допущение
5 5
Вц = ац - 2] —У " ; D'ti = bu - ?
n<s) тр(*)пг(*). ItprW ¦— a'is h'¦ ri!2
uu ~ ’ » t — rm 0 lsrs ¦
(3.3.14)
Следует отметить возможность существования нулевых значений для rs. Однако это не приводит к расходимости величин Dij и ЧГ^, поскольку при rs, равном нулю, соответствующие значения а'и также должны стремиться к нулю. Для доказательства этого рассмотрим выражения (3.3.4) для V.
Если при а'гэФ0 rs = 0, мы можем принять член o'isQi^s отрицательным и бесконечно большим. Значит V может быть отрицательным, что противоречит основному свойству теплового потенциала.
Заметим, что подсистема может иметь кратные характеристические корни. Следовательно, как в аналогичном случае для из уравнения (3.2.10), можно ввести коэффициент
S'
(3.3.15)
S'
где ^ обозначает суммирование до показателя кратности, соответствующего определенному кратному корню rs.
Как и в выражении (3.2.11), мы сделали вывод, что квадратич-Ч
ная форма ^ Pf^ZjZj является неотрицательной. Неотрицательность
Ч Ч
квадратичных форм 2AiztzJ и 2^,t*z<z* покажем следующим образом. Уравнения (3.2.1) можно записать в виде >
2 (V + Pbv-J (3.3.15а)
где (л и v принимают значения от 1 до п. Умножив эти уравнения на q t получим:
H.v H*v И*
2 w*+р 2 (з.зл so
66
Поскольку Qh+i — Qh+2 = .— Qn — 6, мы можём записать: и- 1 ч
= =SZt3'^9i- (3.3.15b)
Для /7 — 0 получим:
И-v ij
'2iav.^^,-=^iDijqiqu (3.3.1 Бг)
а для р — со
И-v ij
S6H-v^v = 2Д/“’^- (3.3.15д)
Левые части уравнений (3.3.15г) и (3.3.15д) не могут быть отрицательными, поскольку они соответствуют тепловому потенциалу и диссипативной функции. Следовательно, квадратичные формы в ‘правой части также не являются отрицательными.
