Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
2.3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Обобщенные координаты q{ могут быть выбраны таким образом, чтобы они были связаны с полем Н линейной зависимостью
Н =’%№Цх, у, г)д{, (2.3.1)
где Н^(л:, у, z)—конфигурации данного поля, не зависящие от времени. Может быть бесконечное число обобщенных координат, для которых выражение (2.3.1) есть бесконечный ряд векторных полей. Поля НМ можно выбирать произвольно, однако они должны с достаточной степенью точности отображать физическую сущность задачи. В математическом смысле их можно выбрать таким образом, чтобы они описывали поле с любой степенью точности вблизи множества N точек Рк в любой заданной области. Число N этих точек может быть сколь угодно велико. Зти 3N компонент поля Н в точках Р& являются функциями 3N обобщенных координат qu, связанных линейной зависимостью
(2.3.1). Единственным требованием в этом случае является то, чтобы преобразование было неособенным. Поэтому с физической точки зрения представление непрерывного поля в виде обобщенных координат не ограничивает его общности.
Применим линейное соотношение (2.3.1) к системе со свойствами, не зависящими от температуры. Тогда задача будет как математически, так и физически линейной. Поскольку теплоемкость, теплопроводность и коэффициент поверхностного теплообмена не зависят от температуры, тепловой потенциал и диссипативная функция имеют вид квадратичной формы с постоянными коэффициентами. Они строятся следующим образом.
39
Температурное поле 0 вводится с помощью теплового смещения Н по уравнению (1.2.2). Запишем:
0 =----------div Н. (2.3.2)
Подставив выражение (2.3.1), получим температуру
в виде
0 = 2 0(0 (^. У- (2.3.3)
где
0<*') =--------i-divH«o. (2.3.4)
Таким образом, поле 0 выражается суперпозицией
скалярных полей 0W с амплитудами, пропорциональными обобщенным координатам q\. Тепловой потенциал будет:
V
(2'3'5)
Подставив в него значение 0 из уравнения (2.3.3), получим квадратичную форму
(2.3.6)
с коэффициентами
azj=Jjj сЪЩЩх. (2.3.7)
В случае изотропной теплопроводности диссипатив-
ная функция, определяемая из уравнения (2.2.13), имеет вид:
С=4]Ят14'* + ТгИтГН!»‘гА (2.3.8)
¦с А
Она учитывает диссипацию в объеме т твердого тела и диссипацию на поверхности А, обусловленную коэффициентом теплообмена К. Подставив в выражение (2.3.8) Н из уравнения (2.3.1), получим диссипативную функцию в квадратичной форме
D = ^ baqiqj (2.3.9)
40
с коэффициентами
j'^H^H^dA. (2.3.10)
т A
При анизотропной теплопроводности используем значение диссипативной функции из выражения (2.2.12). Коэффициенты в этом случае будут: ы
ь,,=^ \ fj S +-г Я т к 'иУл-
¦С А
(2.3.11)
Обобщенные тепловые силы в соответствии с уравнением (2.2.9) равны:
Qt = — J$0„H«>nA4. (2.3.12)
С учетом выражений (2.3.6) и (2.3.9) уравнение Лагранжа
¦fr+frft' (2'ЗЛЗ)
записывается в виде
</> ,
Эта система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
По определению квадратичных форм (2.3.6) и (2.3.9) коэффициенты удовлетворяют соотношениям симметрии:
а^ = аи; Ьц = Ьц. (2.3.15)
Рассмотрим теперь некоторые важные ограничения, вытекающие из свойств квадратичных форм. Возьмем диссипативную функцию
D = D'+D", (2.3.16)
где D' и D" — соответственно диссипативные функции для объема твердого тела и на границе, определяемые уравнениями (2.2.3) и (2.2.8) соответственно. Эти выражения не могут быть отрицательными или равными нулю, если плотность теплового потока Н не равна ну-
41
^=ш4-н<он(йл+
лю в каждой точке твердого тела и на границе. Это сле-
if
дует из того, что выражение^ hijHhHj пропорционально
локальной скорости приращения энтропии, являющейся положительно определенной величиной. Поэтому выраженная через тепловой поток диссипативная функция является положительно определенной. Кроме того, будем считать преобразование (2.3.1) неособенным. Это означает, что поле Н не может быть равным нулю, если все обобщенные координаты также не равны нулю. В этом случае диссипативная функция, выраженная в зависимости от qu также положительно определенна.
Это свойство нельзя применить к тепловому потенциалу. По определению он не может быть отрицательной величиной, но может быть равным нулю при значениях поля Н, для которых 0 = 0. В соответствии с уравнением
(1.2.2) это имеет место для компонент поля Н, так что
div Н=0. (2.3.17)
Поэтому тепловой потенциал может быть равным нулю при значениях обобщенных координат, не равных нулю. Говоря математическим языком, тепловой потенциал может быть положительно полуопределенным.
Вместе с соотношениями симметрии (2.3.15) эти свойства являются основными при общем анализе линейных тепловых систем, что будет рассмотрено в последующих параграфах.
2.4. МОДЫ ТЕПЛОВОЙ РЕЛАКСАЦИИ
Когда тепловые силы Qi—О, уравнение (2.3.14) принимает вид:
Это линейные однородные уравнения. В физическом смысле они могут описывать твердое тело, внутренняя начальная температура которого не равна поверхностной температуре, поддерживаемой постоянной. Поскольку начало отсчета температуры выбирается произвольно, значение поверхностной температуры принимаем равным нулю.
