Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Био М. -> "Вариационные принципы в теории теплообмена " -> 13

Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.

Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена — М.: Энергия , 1975. — 209 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipivteoriiteploobmena1975.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 61 >> Следующая

В случае, когда граничные условия выражаются через коэффициенты теплообмена, твердое тело и его гра-
42
ницы рассматриваются как единая система. Как показано в § 2.2, граничные условия учитываются введением в выражение для диссипативной функции соответствующего члена. В данном случае термодинамическая сила равна нулю и соответствует твердому телу, помещенному в термостат.
Это обстоятельство выражается приравниванием адиабатической температуры 0а нулю. Наконец, тепловая сила Qi также стремится к нулю, если некоторые участки границы являются теплонепроницаемыми. Это можно увидеть из выражения (2.2.9), поскольку (dH/dqi)n стремится к нулю в точках, где тепловой поток на границе отсутствует.
С физической точки зрения решение уравнения (2.4.1) должно описывать температурное поле, которое асимптотически стремится к нулю, поскольку оно стремится в равновесию. Рассмотрим решение типа
<7г = С4е*‘, (2.4.2)
где С и р — постоянные. Подставив (2.4.2) в уравнение (2.4.1), получим:
(/)
2 pbii) Со — 0- (2.4.3)
Уравнения (2.4.3) являются линейными алгебраическими уравнениями относительно переменных С и с неизвестным параметром р. Они разрешимы, если их детерминант равен нулю. Запишем:
det\aij + pbij\ =0. (2.4.4)
При наличии п переменных это алгебраическое уравнение п-й степени относительно р называется характеристическим уравнением. В соответствии с классической теорией матриц все корни его должны быть действительными. Это вытекает из следующих допущений:
1. Коэффициенты atj и Ьц симметричны (ац = а^ и bij — bji).
j (Ч)
2. Квадратичная форма D = ~тг ^ higigi является положительно определенной.
То, что корни р обязательно должны быть действительными, можно показать, взяв комплексную величину р и с ней сопряженную
43
р*. Соответствующие комплексные величины С j и С*, удовлетворяют уравнениям:
(/) Ь
(ам + pbhj) Cj = 0; ^ (aiи + Р*Ьм) С*ъ = 0. (2.4.4a)
Умножим первые уравнения на C*k и просуммируем по всем значениям k. Аналогично умножим вторые уравнения на Cj и просуммируем по всем значениям j. Вычтем один результат из другого
V
(/>-/>*) 2 6*АС\ = 0. (2.4.46)
Положив С, = а, + г']?,, можем записать: ki kj
2 = 2 Ki (<w + Ш ¦ (2.4.4в)
kj
Поскольку D = ~y ЬноЧнУз является положительно
определенным, выражение (2.4.4в) также положительно определенно. Из уравнения (2.4.46) следует, что р=р*. Следовательно, значения р действительны. Кроме того, корни должны быть положительными. Это можно показать, рассмотрев корень р и соответствующие действительные постоянные С3, удовлетворяющие уравнениям
(2.4.3). Умножив эти уравнения на С, и просуммировав их, получим:
2 рЬц) Cfij — 0, (2.4.5)
откуда
Р = (2-4.6)
где
l/c=2a‘ACj; ^=2^С^- (2.4.7)
Теперь Dc является положительно определенной величиной, a Vc — положительно полуопределенной. Поэтому р либо равно нулю, либо отрицательная величина.
Рассмотрим систему п обобщенных координат q\. Характеристическое уравнение (2.4.4) будет тогда п-й степени. Допустим, что все корни различны. Можно записать п значений этих корней в виде
р = —к (2.4.8)
44
где s = 1, 2, . . п, а Хя либо положительна, либо равн-а нулю. Тогда получим решение дифференциального уравнения (2.4.1)
Ж = ЪС?е~'-'. (2.4.9)
Характеристические решения С^е s называются модами тепловой релаксации. Они являются выражением тепловых полей постоянной конфигурации с экспоненциально убывающими во времени амплитудами. Коэффициенты Кв — постоянные релаксации.
Для данного значения s постоянные C*s) определяются только из их отношений. Для пояснения запишем:
= (2.4.10)
где C<s>—произвольная амплитуда, a <p(s)—постоянные
значения, удовлетворяющие определенному условию нормировки. В данном случае целесообразно выбрать в качестве условия нормирования следующее соотношение:
2Ь^УР=1- (2-4.И)
Этот выбор можно объяснить тем обстоятельством,
что D положительно определенна. Теперь общим решением уравнения (2.4.9) будет:
qi = '2lCW'tfe~X,t , (2.4.12)
т. е. сумма релаксационных мод <p(s)exp(—Xst) с произвольными амплитудами C(s>.
Когда все характеристические корни р = —различны, существование общего решения в виде (2.4.12) вытекает из классической теоремы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При наличи кратных характеристических корней (2.4.12) уже че Я1
ляется общим решением [Л. 2-4], так как общее решени
—х t
может содержать члены типа tke s . Однако в данном частном случае, ограниченном уравнением (2.4.1), можно показать, что общее решение (2.4.12), содержит только экспоненциальные члены и остается также справедли-
45
вым в случае кратных корней. Это вытекает из симме-трии коэффициентов (йг^ = ац, Ьц = Ьц) и положительной определенности диссипативной функции D. Более подробно этот случай будет рассмотрен в следующем параграфе при изложении метода обобщенных координат.
Вариационный принцип и релаксационные моды. Рассмотрим квадратичные формы Vc и Dc, определяемые уравнениями (2.4.7). Они являются функциями переменных CV Ищем стационарные значения Vc, поэтому положим:
6КС=0 (2.4ЛЗ)
для вариаций б С,-, удовлетворяющих условию постоянства Dc. Эта задача на экстремум с дополнительным ограничением
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed