Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
подобной поверхностью и задать на поверхности начальные условия и
коммутационные соотношения. Эта пространственно-подобная поверхность
представляет собой трехмерную поверхность а, нормаль к которой тщ всюду
временипо-добна: = 1 > 0. Условимся всегда выбирать вектор тр
лежащим в переднем световом конусе, так что т]° > 0. В дальнейшем мы
будем подразумевать, что выражения "в данный момент времени" и "на
пространственно-временной поверхности а". означают одно и то же; таким
образом, мы можем придать выбранным начальным условиям ковариантную
формулировку.
Путь к квантованию классических полей начинается с рассмотрения полевых
уравнений. Исходя из этих уравнений, мы ищем лагранжиан, который в силу
принципа Гамильтона приводит к этим уравнениям. Построив лагранжиан,
можно затем
20
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. И
определить канонические импульсы и выполнить квантование согласно
уравнению (11.24). В результате поля ф, (дс, /) и канонические импульсы
т(х, t) становятся операторами в гильбертовом пространстве, которые
действуют на векторы состояния Ф. Как и в одночастичной теории,
упомянутой в самом начале гл. 1, мы постулируем, что физические состояния
Ф образуют полный набор в гильбертовом пространстве. Наиболее часто мы
будем сталкиваться с векторами состояния в гейзенберговском
представлении, т. е. с собственными векторами гамильтониана, построенного
из полей фi и импульсов т по аналогии с одночастичной теорией:
Н (фг, щ)Фп = ЕпФп.
Напомним сначала способ нахождения лагранжиана L из уравнений движения в
классической механике. Затем мы повторим те же самые выкладки, чтобы
построить лагранжиан в теории поля. Начнем с уравнений Ньютона
mtfi = - V {Qu ¦ • •. <?"), умножим их на 8qi и просуммируем по i = 1,
..., п:
П П
Y т1ф ^1 = - ? bqi = - 8V.
i=l (=1 1
Интегрируя затем по времени от t\ до h и полагая 8qi(ti)~ = 6<7г(*2) = 0,
т. е. что концы траекторий частиц закреплены, получим после
интегрирования по частям
t. / п
^ di[ Y т1Ь - бк
ti 'i-i
Это уравнение и представляет собой принцип Гамильтона для лагранжиана
Теперь, рассматривая поле ф(х), мы в точности следуем той же процедуре.
Пусть, для примера, ф(х) удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона
V2 + т2) ф = 0. (11.26)
Сумма по i, которая встречалась выше, в этом случае заменяется трехмерным
интегралом по пространственной координате х.
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ И КВАНТОВАНИЕ ПОЛЕЙ
21
Умножим вначале уравнение (11.26) на бесконечно малую вариацию амплитуды
в точке х:
6ф (а) = ф' (а) - ф (х)
и проинтегрируем по всем координатам х и по всем временам от 11 до (2:
12 вО
^ dt ^ d3x - У2ф + т2ф) бф = 0.
t\ ~оо
На вариацию бф снова наложим условие бф(^) = бф(^) = 0. Предположим
также, что система локализована в пространстве, так что вклад от
граничной поверхности при х->±°о отсутствует1). Тогда имеем
ti ОО
5dt 5 ^s[+K^)2"iiv<pi2-^m2(p2]==o
t\ -ОО
или
#2
ej d*xsr(q.,-0-) -0.
и
где
(П.27)
Величина 2 представляет собой лоренц-инвариантный функционал, зависящий
от полей ф и первых производных ду/дх^\ эта величина называется
плотностью лагранжиана. Ясно, что лагранжиан L, играющий ту же роль, что
и в классической механике, равен объемному интегралу от плотности
ОО
В общем случае мы будем всегда полагать, что уравнения могут быть
выведены из некоторой плотности лагранжиана 2. По аналогии с принципом
Гамильтона в классической механике
(11.1) потребуем, чтобы действие было стационарно для полей,
удовлетворяющих уравнениям движения
t2
dt\ d3x2 - 0. (11.28)
*) Этого можно также достигнуть, заключив систему в ящик и наложив
периодические граничные условия.
22
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. II
Варьируя поля таким образом, чтобы их граничные значения при t\ и t2
оставались, как в классической механике, фиксированными, мы получаем из
(11.28) уравнения Эйлера - Лагранжа для полей. В частности, в том простом
случае, когда система описывается единственным полем <р и лагранжева
плотность 3? зависит только от ф и дц>!дх^, получаем из (11.28)
(и 5 dh (Ф+"я., ц-+б it) - *(", ^)]=
11
= \dt\ d3x Г- бФ + ¦ - dS ¦ ¦ ef-^SLY] = 0.
J ' L Зф д {дц>!дх*) \ Зхц / J
Интегрируя по частям и используя соотношение
6 JSL = _А_ (ф + 6ф) _ = _А_ (бф),
дх11 дх* дх* дх^
имеем
12
^ d4x бф ?
dS 3_ dS I _ 0
L Зф дх11 3 (Зф/Зх^) J
Поскольку вариации бф произвольны, отсюда получаем уравнение для поля
3 dS dS
За:1* 3 (3ф/3хи) Зф
0. (11.29)
В том частном случае, когда 3 определяется из (11.27), уравнение (11.29)
приводит в точности к уравнению Клейна - Гордона (11,26).
Полевые уравнения, полученные таким образом, являются дифференциальными
уравнениями и отвечают локальной теории. Если 3 содержит производные
полей выше первого порядка, то порядок полевого уравнения больше двух1) -
До тех пор, пока 3, содержит производные конечного порядка, сами поля
удовлетворяют дифференциальным уравнениям и теория является "локальной".
Мы примем гипотезу локального действия, в связи с чем уместно напомнить
