Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
использования лагранжианов. Общий подход такого типа с аксиоматической
точки зрения был сформулирован Леманом, Шиманчиком и Циммерманном [12,
13].
ЗАДАЧИ
Волновое уравнение для массивной частицы со спином 1 имеет вид
fguv (? + И2) --ТДГ Л 4PV <-*) = °>
L дХ' dxv J
откуда следует, что
1. Построить из этого уравнения плотность лагранжиана
32
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. И
2. Построить плотность гамильтониана
9 * 2
2-Ф/-1"о =
• 2 1 /Т7 ч2 I 1 /<Эф;У Ц2 2 I ц2
= +7(77) -Т"3+Т
= - y щУ - (?фц) (Уф11) - фцф^,
д2
;2
2 -ц" 2 ' "f|1'' ' 2
где
Я|
я0 = У-ф = Угф', яг=фг.
3. Проверить, что гамильтоновы уравнения движения
= фм', -лг = -Лм
дЛц ' (Эф1*
с дополнительным условием
я0 = Уф = - ф0
воспроизводят первоначальное волновое уравнение.
4. Предполагая, что 2 не инвариантна относительно некоторого
преобразования внутренней симметрии, связать изменение S с дивергенцией
соответствующего тока.
ГЛАВА 12
ПОЛЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА § 70. Квантование и интерпретация в терминах частиц
Простейшим примером поля является действительное скалярное поле ф(х),
которое удовлетворяет свободному уравнению Клейна - Г ордона
Это поле рассматривалось ранее в целях иллюстрации. Лаг-ранжева
плотность, из которой выводится уравнение (12.1), записывается в виде
При квантовании я и ср становятся эрмитовыми операторами, которые
удовлетворяют одновременным коммутационным соотношениям
В результате мы получаем квантовую теорию, инвариантную относительно
трансляций и лоренцевых преобразований координат, что можно
непосредственно проверить прямым вычислением коммутаторов (11.70) и
(11.73). Из (12.2) и (12.3) получаем выражение для гамильтониана
Р°=Н = J d3xЖ (я, ф),
9$ (я, ф) = яф - = j [я2 (#, 0 + | Уф (#, ()
|2 + /п2ф2 (#, /)] (12.6)
(? + т2) ф (х) == 0.
(12.1)
(12.2)
а сопряженный импульс равен
(12.3)
[ф (х, t), ф (*', t)] = [я (х, t), я (*', /)] = О, [я (*, /), ф (х', /)]
= - id3 (х - х').
(12.4)
34
ПОЛЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 12
и оператора импульса
Р = - ^ л Vq> d3x. Используя (12.4), можно убедиться,' что
(12.6)
как и должно быть. Аналогичным образом можно вычислить Мю' в (11.57) и
проверить выполнение условия (11.73), причем для скалярного поля ErJ = 0.
Для дальнейшего рассмотрения нам потребуется ввести полный набор векторов
состояния Ф. Этот набор можно построить, используя алгебру операторов,
которая задается коммутационными соотношениями; при этом удобно работать
с собственными функциями оператора энергии-импульса.
Заметим, что любое решение уравнения (12.1) может быть разложено в
интеграл Фурье по плоским волнам
В классической теории амплитуда a+(k) комплексно сопряжена a(k),
поскольку поле <р(х) действительно. В квантовой теории эти амплитуды
являются эрмитово сопряженными операторами. Алгебру операторов a(k) и
a+(k) можно получить, если переписать коммутационные соотношения для <р
(12.4) в терминах коэффициентов a(k).
Из (12.7) получаем1)
ев \ d?k [a (k) fk (х) + а+ (к) П (*)], (12.7)
где
где
m = + ^ + w? И Ш- V(aij,4 е-^.
Г, {ж, t) ф (*, I) d?x ~ -А- [а (к) 4- а+ (- к)
к
$ fl (.х, t) ф (х, 0 d3x = - \ [а (к) - а+ (- к)
J) Функции fk и fk удовлетворяют условию ортогональности (9.6):
^ t'k (*, t) fh, (x, t) dsx = 63 (ft - к'),
J fk (*> 0 i"Kfk' ^ d3* =¦
КВАНТОВАНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ТЕРМИНАХ ЧАСТИЦ
35
откуда
а (?) = ^ d3xfl {х, t) К<р (х, t) + г'ф (.х, 0] =
= г ^ d3x f*k (х, t)\ф (ж, t).
(12.9)
В последней строке использовано обозначение до, которое имеет следующий
смысл:
Правая часть в (12.9) по теореме Грина не зависит от времени, поскольку и
fk{x,t) и ф(ж, t) являются решениями1) уравнения
(12.1). Выражение (12.9) представляет аналог внутреннего произведения,
которое мы рассматривали в гл. 9 при обсуждении метода функций
распространения в применении к уравнению Клейна - Г ордона.
Искомые коммутационные соотношения получаются теперь из (12.4) и (12.9).
Поскольку a(k) не зависят от времени, мы можем при вычислении коммутатора
в (12.4) взять операторы Ф и я в один и тот же момент времени; в
результате получим
[а (А>), а+ (k')] = ^ d3x d3y [f*k (x, t)d$ (x, t), fk, (у, tfd0ip (y, 0]
-
= + i ^ d3x fl (x, t)cQ*k, {x, t) = b3{k - k').
[a (k), a (k')\ = {if Jj d3x d3y [f* (x, t) o^tp (x, t), f*, (у, t)dj$
{у, tf\ =
= - / J d3x f*k (x, t)%f l, (x, t) = 0
Оператор энергии-импульса для свободного поля Клейна - Гордона имеет
простой вид в терминах коэффициентов a{k) и a^{k).
*) Это утверждение справедливо и в более общем случае, когда в качестве
ортогональных функций, по которым производится разложение полевого
оператора <p(x, t) в (12.7), используются волновые пакеты, составленные
из плоских волн (см, [12]),
a (t)%b (t) = а (/) ~ - (Jjf) Ъ if).
Аналогичным образом имеем
и
[а+ (k), а+ (*)] = 0.
(12.10)
36
ПОЛЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 12
Непосредственное вычисление по формулам (12.5) - (12.7) приводит к
следующему результату1):
(12.11)
P=±)d4k [а+ {к) a(k) + a (к) а+ (k)].
Мы получаем, таким образом, представление гамильтониана в форме
