Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
символом
:фф: = ф<-)ф(^) -f- 2ф(-)ф(+) + ф(+>ф(+). (12.25)
Из формулы (12.17) и эрмитово сопряженного ей выражения следует, что
вакуумное среднее любого оператора равно нулю, если только этот оператор
выражается через величины, записанные в нормальном виде. В данном случае
единственным эффектом, к которому приводит нормальное упорядочивание,
является избавление от бесконечной энергии нулевых колебаний; при этом
нуль энергии определяется как энергия вакуумного состояния ф0.
Из (12.19) и (12.22) получаем собственные значения оператора Рц:
,2, ...
(12.26)
Собственные векторы для каждой нормальной моды k несут 4-импульс,
отвечающий Пк квантам, каждый из которых имеет 4-импульс k11 и массу т,
причем, согласно соотношению Эйнштейна, kykv = т2. Мы видим здесь, как
при канонической процедуре квантования возникает интерпретация поля в
терминах частиц. Целые числа Пк называются числами заполнения для k-ro
импульсного состояния; при этом задание наборов Пка полностью определяет
вектор состояния Ф (... пка ...).
Удобно ввести оператор числа частиц
Nk~atak (12.27)
с целыми собственными значениями
^*Ф(... Пк ...) = и*Ф(... Пк ...), "* = 0,1,2,..., (12.28)
¦V
пи
•)> я* = 0^1
40
ПОЛЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 12
через который можно выразить оператор энергии-импульса')
P'l=Zk"Nk. (12.29)
к
С помощью (12.14) можно проверить, что
аЯ = й**л*' и lNk> "*']==- Кк'ак'- (12-3°) Сравнив с (12.29), мы видим,
что а? есть оператор рождения кванта с импульсом №. Этот оператор,
действуя на состояние, содержащее Пк квантов с импульсом №, образует
состояние с Пк + 1 квантами, поскольку
рЛф(--- пк •••)=< 1Л + ^]ф(--'' Ч •••) =
= (^чК + К)акф{-'' "*•¦•)•
Аналогичным образом оператор ан уничтожает квант с импульсом k и, в
частности, действуя на состояние, не содержащее таких квантов вообще,
дает нуль, поскольку а*Ф*>(0) = 0 согласно (12.17).
Единственными отличными от нуля матричными элементами операторов ак и
являются те, которые, как и в примере с осциллятором (гл. 11), связывают
состояния с пк = пк± 1:
(фа ")- акфк W) = "| Ч | Ч) " л/ч ьп'к, пк-х> (12.31)
(Ч | ак | Пк) = /\Jnk "t- 1 ^n'k, nk+ 1*
§ 71. Симметрия состояний
При каноническом квантовании классического поля Клейна-Гордона возникает
многочастичная интерпретация поля в терминах чисел заполнения Пк¦ Для
свободного поля операторы Nk и Н коммутируют, поэтому число квантов
сохраняется. Интересная физическая задача возникает, если ввести члены с
взаимодействием, которые меняют Пк. Для свободного же поля остается
только показать, что кванты представляют систему тождественных частиц, т.
е. подчиняются статике Бозе - Эйнштейна.
Любое состояние представляет суперпозицию базисных состояний
ф П тгг ф'(0)- <12-32)
k У k
*) Здесь и далее мы опускаем штрихи при записи операторов с нормаль-
ным порядком множителей.
СИММЕТРИЯ СОСТОЯНИИ
41
Вектор (12.32) полностью определен набором чисел заполнения Пк для
каждого ft. Отдельные кванты не различимы, поскольку, согласно (12.14),
все операторы а? взаимно коммутируют и их порядок несуществен. Это
обстоятельство находит отражение в свойствах симметрии коэффициентов
разложения произвольного вектора по базисным векторам (12.32).
Возвращаясь снова к непрерывной нормировке, запишем это разложение в
виде1)
^ d% ... d3kn сп (ft,, ..., ft") X
X а+ (ft,) а+ (ft2) ... а+ (ft")] Ф0. (12.33)
Множитель 1 /л/п\ выбран из соображений удобства; при этом условие
нормировки для сп имеет простую форму:
со
1 = (Ф,Ф) = к0Р + ? \d3k 1 ... d3kn\cn(ku ft8f .... ft")|2. (12.34)
n=l
Коэффициенты cn описывают распределение по импульсам компоненты вектора
состояния, содержащей п квантов. Они имеют смысл волновой функции в
импульсном пространстве системы тождественных частиц, которая
характеризуется заданным набором импульсов ka. В силу коммутативности
операторов a+(ft) в (12.33) эти функции есть симметричные функции своих
аргументов
<?(... ft, ... kj ...) = + с(... ft/ ... ft, ...). (12.35)
Как отмечалось выше, состояние характеризуется только числами квантов с
различными ft. Кванты неразличимы, и вероятность состояния, в котором
квант а имеет импульс ft/, а квант b импульс kj, равна вероятности
состояния, в котором кванты а и b переставлены:
k(... ft/ ... к, ...)|2 = |с(... kj ... kt ...)|2. (12.36)
Условие симметрии (12.35), которое является следствием алгебры
коммутаторов операторов a+(ft), означает, что частицы, возникающие при
квантовании, подчиняются симметричной (или бозе-эйнштейновской)
статистике.
') Мы предполагаем здесь, что вероятность нахождения двух частиц в одном
и том же состоянии k бесконечно мала, т. е. в непрерывном пределе пк -*¦
1 или п* 0. В случае сильно вырожденных систем, таких, как основное
состояние свободного бозе-газа, когда все частицы находятся в одном и том
же состоянии с k - 0, удобно сохранить дискретную нормировку. В теории
поля нас интересуют произвольные состояния рассеяния, для которых вопроса
вообще не возникает.
