Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Решением последних является
a(t) = a0e~i<Sht, а+ {t) - a^eiUhi, (11.15)
где а0, - не зависящие от времени операторы, которые удо-
влетворяют коммутационным соотношениям, следующим из
(11.11):
[а (/), а+ (/)] = [я0, а+] = 1, [а (0, а (01 = [а0, а0] = 0, ^
[а+(/), а+(0] = К,а+] = 0.
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ И КВАНТОВАНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ
17
В терминах операторов а и а+ гамильтониан равен
Н = V2co0 (а+а + аа+) = '/2(c)0 (а+а0 + а0а+). (11.17)
Поскольку любое состояние может быть разложено в ряд по стационарным
собственным функциям гамильтониана Н, достаточно выяснить свойства 4V Из
(11.17) имеем
[Н>ао]-~ %ао и [Я> flo+] = + ф/#- (11.18)
Таким образом, если H4fn = ФпУп, то Hat^n - ((c)я + (c)о) at^n, и мы получаем
бесконечный набор состояний с возрастающей энергией, действуя
последовательно оператором at на состояние *Р" с энергией со": at^n -
Тп+ь Наоборот, так как
НЧ(п - вД", На0'?п = (со" - со0) а0Чгп,
то мы получим набор состояний с меньшей энергией, действуя на состояние
Тп оператором а0\ ао'Ря = Этот последний
ряд, однако, должен оборваться, поскольку гамильтониан (11.13) равен
сумме квадратов эрмитовых операторов и, следовательно, не может иметь
отрицательных собственных значений. Основное состояние с наинизшей
энергией определяется из условия tfo'Fo = О- Его энергия равна
НЧ0 = 1/2(о0а0а+Ч0 = 7г(r)0 К> "о+] = Ч^о%,
а энергия "-го состояния
^" = (а0+)>0 (11.19)
равна
(c)" = ("+ 7г) (c)о-
Энергетический спектр одномерного осциллятора не вырожден и различные
состояния (11.19) взаимно ортогональны1)
OF,, 4'J = 6"m ("!)(%, %). (11.20)
Можно вычислить матричные элементы оператора at в гей-
зенберговском представлении, если заметить, что
^1 + У1 ^1 а°й°+1 = 1 Iао+1 I' = п + 1 •
Поэтому можно положить
0Fn+i | а0+ | ?"> = V^+T = <?" | a01 ?"+.>• (11,21)
') Отметим, что состояния не нормированы-
18
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. И
В произвольний момент времени матричный элемент гейзенберговского
оператора равен
OFn+i I а+ (01 W"> = eiaJ <рп+11 a* I Wn) =
= <e~ги"+'Ч+. I "о+1 е~Шп* Чп). (11 -22)
В этом частном случае только те матричные элементы отличны от нуля,
которые меняют п на ±1. Уравнения (11.13) - (11.22) дают полное
квантовомеханическое решение рассмотренной задачи. Эти уравнения
описывают развитие во времени операторов, допустимых физических
состояний, а также матричных элементов операторов в энергетическом
представлении.
Сформулированный подход непосредственно обобщается для системы с п
степенями свободы. В этом случае мы вводим в картину Гейзенберга п
эрмитовых операторов qi(t), i- 1,...,", и п сопряженных импульсов pi(t).
Динамическое описание системы по-прежнему дается 2гс классическими
уравнениями движения:
дН dp. дН dq,
~Д?7==~УГ' ар7=='7Г' г=1,...,я. (11.23)
Определив матричные элементы операторов р, и р,- в момент времени 1 = 0 и
потребовав, чтобы они подчинялись коммутационным соотношениям
[Pi (0), q, (0)] = - [pt (0), Pj (0)] = 0, [q, (0), q, (0)] = 0, (11.24)
мы полностью формулируем квантовомеханическую задачу.
Квантовомеханический аналог уравнения (11.23), как в случае (11.12), есть
Pi(t) = i[H, Pi(t)], qt (t) - i [H, qt (/)] (11.25)
для каждой из n независимых координат и импульсов, описывающих систему с
п степенями свободы.
§ 67. Канонический формализм и квантование полей *)
Переходя к пределу п оо, мы получим теорию, в которой поле в каждой точке
пространства-времени рассматривается как независимая переменная. Простым
примером такого перехода в классической физике является поле колебаний
массивной струны. Если рассматривать струну как N материальных точек, то
нужно решать систему N уравнений для связанных осцилляторов. Взяв же
предел N-+oo, мы получаем непрерывную струну, тещение которой описывается
полем <р(дc,t), которое непре-
•) См. [6, 7].
§67]
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ И КВАНТОВАНИЕ ПОЛЕЙ
19
рывно зависит от х и t. По своему смыслу <р означает смещение струны
относительно состояния покоя, а производная по времени <?Ф (*> t) /dt
есть скорость в точке (*, t).
Следуя этой аналогии, можно ожидать, что при динамическом квантовании
поле ф{x,t) играет роль координаты qi{t), а производная dy{x,t)/dt
отвечает обобщенной скорости qi(t). При этом дискретный индекс i
заменяется непрерывной координатой х; в результате поле в представлении
Гейзенберга является функцией как пространственных, так и временных
координат х = (х, t). При таком подходе координата и время входят на
равных основаниях, и мы видим преимущество гейзенберговской
Рис. 11.2. Произвольная пространственно-подобная поверхность а с нормалью
Цц.
картины, в которой явным образом подчеркнута лоренц-инва-риантность
формализма. Единственным упоминанием о выделенной роли времени является
задание начальных условий и коммутационных соотношений в некоторый момент
времени, например t = 0. Гиперповерхность ? = 0 является единственным
нековариантным элементом теории. Эту трудность, однако, легко преодолеть,
если заменить гиперповерхность t = 0 ковариант-ной пространственно-
