Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывной суммы членов
Hk = \(r)k [а+ (k) a{k) + a(k) а+ (k)],
каждый из которых имеет вид гамильтониана простого гармонического
осциллятора с частотой ш*>. В самом деле, а+(?) и а (к) есть повышающие и
понижающие операторы, которые уже обсуждались на примере с осциллятором в
гл. 11, причем эти операторы удовлетворяют, с точностью до нормировки,
тем же самым коммутационным соотношениям. Чтобы пояснить различие в
нормировке и выявить полную аналогию с предыдущим рассмотрением
одномерного осциллятора, мы снова вернемся к дискретным обозначениям.
Разбивая ^-пространство на ячейки объема ДУй, имеем
и (12.12)
*) Желая сохранить формальную ковариантность, мы можем переписать
разложение по плоским волнам в инвариантном виде, используя тождество
щ-- \d'kb(k*-m*)Q(k0).
Обозначив А (к) - д/2<вА а (к), получим
Ф (*. О = -^з7Г \ <?к 6 6 (*°> (*) e~ikx + л+ W
И
где а - плоская пространственно-подобная поверхность, % - нормаль к этой
поверхности. Аналогичным образом имеем
** = Т \ d*k 6 ^ ~ 6 (*о) ^ ^А+ W А(к) + А (к) А+ (А)],
причем коэффициенты A(k), подобно ф, являются лоренцевыми скалярами.
Я = \ d?k cofc [а+ (k) a(k) + а (k) а+ (к)],
КВАНТОВАНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ТЕРМИНАХ ЧАСТИЦ
37
Тогда Я имеет вид суммы гамильтонианов осцилляторов Я*, соответствующих
набору ячеек импульсного пространства:
Н == У*, ~ Т (akak akak )' ак ~ л/^к а (12.13)
к к
причем
К< "Я = \к" К- "*'] = К- "я = 0- (12.14)
Указанной аналогии с гармоническим осциллятором не следует удивляться,
поскольку классическое поле Клейна - Гордона может быть представлено в
виде разложения по своим собственным частотам. Коэффициенты в этом
разложении a(k) и являются гармоническими осцилляторами. Все, что мы
сделали, - это проквантовали каждый из осцилляторов а (k).
При квантовании мы ожидаем, что классическая энергия поля станет равна
сумме энергий отдельных осцилляторов. Чтобы вычислить собственное
значение оператора энергии и построить соответствующие собственные
функции, рассмотрим каждый гамильтониан Ни по отдельности. Поскольку Я
имеет вид суммы взаимно коммутирующих для каждого волнового числа k и
частоты щ = л/к1 т2 операторов Ни, то его собственные функции
представляются в виде произведения собственных функций Фи, отвечающих
каждому из Я*. Произвольный вектор состояния Ф может быть далее записан в
виде суперпозиции таких произведений со всевозможными значениями k в
соответствии с постулатом полноты, гл. 1.
Решение задачи на собственное значение для осциллятора с данным волновым
числом k характеризуется целым индексом Пк = 0, 1,2, ..., который
нумерует собственные функции и собственные значения
= (п* + у)ф"Ы, (12.15)
(r)Д%) = ^=(а"+Г'ф.(0)- <|2-Ю
Здесь Ф* (0) - основное состояние, определяемое из условия
а*ФА(0) = 0. (12.17)
Состояния в (12.16) нормированы согласно
(Ф* (пк)> (пк)) = (r)пкп'к'
Аналогично можно записать оператор импульса
Ел-Е?'Ка*+"*<)• <12-18>
к к
38
ПОЛЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 12
где
Pk(r)k (n-k) - k + у) Ф* (пк), Пк = О, 1,2, ...
Собственные функции оператора энергии-импульса ф записываются в виде
произведения функций Фк, отвечающих отдельным импульсным ячейкам; они
характеризуются набором пк для каждого значения k:
Ф(л*, ••• пка. • -) = 11Фк(пк),
Р"Ф(... пка ...) = ?^(ца+|)ф(... "*"..•)• (12Л9)
к
В основном состоянии, т. е. в состоянии с наинизшей энергией, все пк - 0:
Фо=ПФ*(0). (12.20)
k
В этом состоянии, которое имеет физический смысл вакуума, не возбуждена
ни одна из мод нормальных колебаний.
Энергия вакуума
(i2.2i)
к
расходится, представляя по своему смыслу сумму энергий нулевых колебаний
бесконечного числа осцилляторов, по одному на каждую нормальную моду или
степень свободы поля. Это первый пример в ряду бесконечностей, с которыми
мы будем еще сталкиваться в теории поля. В данном случае от бесконечности
в (12.21) проще всего избавиться, вычитая из Н бесконечную константу так,
чтобы сократить член ^ ак. Подобная
к
процедура является оправданной, поскольку физический смысл имеют не
абсолютные энергии, которые неизмеримы, а лишь их разности. Согласно
(12.17) и (17.20) вычитаемая константа равна вакуумному среднему
оператора энергии; она автоматически исчезает, если переписать оператор
энергии-импульса в виде
К = Р" - (Фо> ЛЛ) = ? К<ак (12.22)
или, используя непрерывные обозначения,
К = ^ ^ № а (*)• (12.23)
КВАНТОВАНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ТЕРМИНАХ ЧАСТИЦ
39
До тех пор, пока поля не подчинены коммутационным соотношениям, операторы
Рц и Р^ тождественны, поскольку классические амплитуды нормальных
колебаний коммутируют; при этом нулевая энергия отсутствует.
В квантовой же теории замена Рц и Р^ эквивалентна записи всех полевых
операторов в выражениях для 3? и Р^ таким образом, чтобы положительно-
частотная часть qp:
Ф<+> (х) = ^ d3k a (k) fk (х) (12.24а)
всегда стояла бы за отрицательно-частотной частью
ф(-) (х) = J d3k а+ (k) f*k (х). (12.246)
Такой порядок множителей называется нормальным порядком и обозначается
