Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантностью в классической теории. При бесконечно малом смещении
< = ** + ** О1-41)
плотность лагранжиана ? изменяется на величину
&? = ?'-? = в11Щ-. (11.42)
С другой стороны, если плотность лагранжиана трансля-
ционно инвариантна, то она не зависит от координат: ? - = ? (фг,
дфл/дфц), так что
вг = Е[ага-^+Т(ЗдаП-8(-&)]' <И-">
Г
где
&Рг = Фг (х + е) - фг (х) = ev ¦ (11.44)
Приравнивая два выражения для 8? и используя уравнения Эйлера - Лагранжа
Л?.. й д'2' - о (11451
д<рг дх" д(дуг/дх") ' U '
') Подробное обсуждение этой теоремы дано, например, в статье [8] (см.
Также [9], прим. перев.)
26
ОБЩИИ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ, И
получаем
е jg. = Э Г у д? gr.-1 (1146)
# 11 дхц дхц <3 (дуг/дХц) v dxv J
Так как смещение произвольно, то
-^/nv = 0> (И.47)
гДе /цу есть тензор энергии-импульса
/pv^-g^ + Z-лт/Тл ГТТ- (1К48>
Из дифференциального закона сохранения (11.47) можно получить
сохраняющиеся величины
= -7Г = °- о1-49)
В предыдущем параграфе мы уже видели, что foo есть плотность
гамильтониана
foo = Z "гфг - S = M (11.50)
Г
И
\d3xU=H,
поэтому мы можем рассматривать Pv как сохраняющийся 4-вектор энергии-
импульса.
Аналогичным образом можно построить выражения для сохраняющегося углового
момента, рассматривая бесконечно малое лоренцево преобразование
< = + е^ = -8^. (11.51)
Для проверки лоренцевой инвариантности нужно подставить в уравнения
движения')
Фг (х) ->S7sl(&) ъ(х') (11.52)
и выяснить, сохраняют ли они в штрихованной системе координат ту же
форму, что и в исходной системе. Здесь Srs(e) - матрица преобразования
полей <рг, которая отлична от единицы, если поля не скалярны. Мы уже
сталкивались с такой ситуацией
') Здесь и далее по повторяющимся индексам компонент поля г и s
подразумевается суммирование.
§ 68] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 27
при рассмотрении уравнения Дирака. Из уравнения Дирака мы можем
заключить, что ')
S" (е) = + '/8 [Y\ yv]rs env
Подставим теперь (11.52) в лагранжиан и потребуем, чтобы плотность
лагранжиана была скаляром и не менялась бы при этой подстановке, т. е.
2 (s~4 (х'), 4: Srs % (-О) = 2 (Фг (х'), -(11.53)
Последнее равенство гарантирует инвариантность уравнений движения,
которые получаются из 2 с помощью инвариантного принципа действия. Для
бесконечно малого смещения
бф, М = s~rl (е) Ф5 (*') - Ф г (х) = Ф г(х') - % (х) ~ причем
S"(e) = a"+722J?(W (11.54)
Раскладывая (11.53) вблизи точки х и используя уравнения Эйлера- Лагранжа
(11.45), получаем
2-М - 2>И = *4, _ JL вфг]. <П.5В)
Уравнения (11.54) и (11.55) приводят к закону сохранения
| UVW - *vgia) S' +
дх11
+ [(*¦ + *•] 1=
= [ШГ1 - *1Г) + *,] = 0. (И .56)
Сохраняющийся угловой момент равен
М* = J d3x Шш- = J d3x [(xvf°l - х:V0v) + яг2^ф,]. (11 -57)
дМ dt
Действуя в том же духе, можно получить дополнительные законы сохранения,
если лагранжиан обладает "внутренними симметриями", т. е. если при
локальных преобразованиях
Ф, (х) -> ф, (х) - г'еЯг5ф5 (х) (11.58)
') В теории Дирака аналогичное уравнение имеет вид (2.11).
/fVX
= 0.
28
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
ГГЛ. Л
плотность лагранжиана остается инвариантной. В формуле
(11.58) Ars - постоянные коэффициенты, не зависящие от х" и е -
бесконечно малый параметр. Диагональные элементы матрицы А отвечают
просто изменению фазы полей, в то время как недиагональные элементы
перепутывают различные поля, входящие в Я? симметрично. Если 9?
инвариантно при подстановке
(11.58), то, повторяя те же выкладки, которые привели нас к уравнению
(11.46), получаем
О = Ь9? = />Q'
Таким образом, для каждой "внутренней симметрии" вида
(11.58), оставляющей 9? инвариантной, существует сохраняющийся в
дифференциальном смысле ток
Обращаясь теперь к квантовой теории поля, нужно выяснить, остается ли при
этом справедливым тот факт, имеющий место для классических полей, что
скалярность 9? гарантирует лорен-цеву инвариантность теории и приводит, в
силу теоремы Нетер, к сохраняющимся величинам энергии-импульса и углового
момента. В квантовой теории поля амплитуды qv(x) приобретают смысл
операторов, действующих на функции состояния, которые представляются
векторами в гильбертовом пространстве. Если наложить условия лоренцевой
ковариантности на матричные элементы этих операторов, через которые
выражаются наблюдаемые в двух различных лоренцевых системах, то мы придем
к некоторому операторному условию для срг(х). В квантовой теории поля
скалярность еще недостаточна для релятивистской инвариантности; нужно еще
проверить, что поля удовлетворяют дополнительным операторным условиям.
Чтобы показать, как возникают эти дополнительные условия, возьмем
матричный элемент полевого оператора qv(x) между двумя функциями
состояния
(11.61)
(11.60)
а также сохраняющийся "заряд"
Q (А) = - / J сРх nrXrS%> = 0.
(11.62)
(Фа, фг (х) Ф6).
(11.63)
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
29
Всевозможный набор таких матричных элементов, нумеруемых значками аир,
образует полный набор амплитуд в квантовой теории поля, который заменяет
