Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
классические полевые амплитуды фг(х). Аналогичную роль в шредингеровской
квантовой механике играют матричные элементы оператора q{t). Для
наблюдателя в другой лоренцевой системе, связанной с исходной
преобразованием координат
^ = aW + b",
амплитуды (11.63) равны
(Ф>Г(*')Ф'), (11.64)
где векторы Ф" и Фр представляют те же самые физические состояния а и р,
но в штрихованной системе координат, причем сами операторы (рг(х')
вычисляются в новой точке х'. Амплитуды (11.64) представляют
квантовомеханическое обобщение классических полей ср' (xr) = Sr/Ps (х) в
штрихованной системе координат. Классическое правило преобразования полей
может быть теперь записано в виде
(К % (*') %) = (") (Фа- Ф* W %} (11 -65)
Это уравнение представляет собой математическое выражение правила,
устанавливающего связь между двумя лоренцевыми наблюдателями. Кроме того,
мы требуем существования унитарного оператора U(a,b), который
устанавливает связь между векторами состояний в двух лоренцевых системах.
Последняя дается уравнением
ф'а = и(а,Ь)Фа. (11.66)
Как следует из (11.65), полевые операторы преобразуются согласно
U (а, Ь) ф, (х) U~1 (а, b) = (а) ф5 (ах + 6). (11.67)
Рассматривая вначале трансляции, мы, в частности, получаем ,
U Ф) Фг (х) U~x (Ь) = фг (х + 6), (11.68)
где U (Ь) - унитарный оператор, генерирующий смещения координат. Для
бесконечно малых смещений лХ = лги + е11 можно
написать
U (е) = exp(ie(iPM') " 1 + г'е(11.69)
где рн - эрмитов оператор. Уравнение (11.68) в этом случае приводится к
виду
/[Р"Ф= (11.70)
30
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. II
Сравнение с классической канонической механикой и нерелятивистской
шредингеровской теорией (уравнение (11.10)) позволяет отождествить в
(11.69), (11.70) с 4-вектором энергии-импульса == Рч. Поскольку мы уже
вывели явное выражение (11.49) для Рч, мы можем теперь в любой теории
проверить, согласуется ли это тождество с коммутационными соотношениями
при квантовании. Таким образом, можно установить, является ли равенство
(11.69) операторным уравнением и коммутируют ли компоненты р с
гамильтонианом
[Я, Р] = 0, (11.71)
т. е. остается ли P константой движения.
Если уравнения (11.70) и (11.71) не противоречат коммутационным
соотношениям, то квантовая теория трансляционно-инвариантна. В противном
случае либо оператор рм-, удовлетворяющий уравнениям (11.70), (11.71),
следует определять каким-либо другим способом (при этом нужно изменить
условия на коммутаторы), либо теория оказывается противоречивой и ее
следует отбросить. Для теорий, которые мы рассматриваем, правильные
значения Рц и могут быть найдены из теоремы
Нетер.
Аналогичным образом можно точно сформулировать, что означает
инвариантность квантовой теории поля относительно ло-ренцевых
преобразований. Унитарный оператор, генерирующий инфинитезимальное
лоренцево преобразование Xм-' = дЯ -f e(Jxv, записывается в виде
Н(е^)=1-|е^1Г\ (11.72)
где M|iV-эрмитов оператор, удовлетворяющий операторному уравнению
qv (х) - y v [IVT, cpr (х)] = S7s (e|iv) ф,- (x + ex),
которое следует из (11.67).
Используя (11.54), это уравнение можно привести к виду
i [NT, Фг (х)] = х^1 U - xv + 2?;<PS (*). (11.73)
Далее мы снова используем связь с классической и нерелятивистской
теорией, чтобы отождествить оператор М'Д генерирующий лоренцевы
преобразования, с тензором углового момента (11.57) : М^= Мч\
Пространственные компоненты в уравнении (11.73) выражают просто-напросто
обычные коммутационные соотношения в нерелятивистской механике для
оператора углового момента L = (Ми, М23, М31), который генерирует
трехмерные пространственные вращения. Согласованность подобного
ЗАДАЧИ
31
отождествления тензора IVHv с тензором углового момента и с
коммутационными соотношениями есть дополнительное условие в теории,
инвариантной при лоренцевых преобразованиях. Непосредственная проверка
производится здесь так же, как и для оператора ри.
Для большинства полевых теорий, которые чаще всего обсуждаются сейчас в
физических приложениях, лагранжев подход и теорема Нетер могут быть
непосредственно применены в квантовой области без каких-либо
дополнительных трудностей. Именно в квантовой формулировке эти теории и
обнаруживают свою практическую ценность, как это будет иллюстрировано в
последующих главах.
§ 69. Другие формулировки
Описанный выше подход использует как исходный пункт классический
лагранжиан, позволяющий вывести непротиворечивые уравнения поля и
коммутационные соотношения. Подчеркнем здесь, что физика заключается не в
самом лагранжиане, а в уравнениях поля и их решениях, а также в
коммутационных соотношениях и свойствах векторов состояний системы.
Можно сформулировать теорию ab initio в терминах квантового принципа
действия, в этом случае лагранжиан играет более важную роль. Этот мощный,
но более абстрактный подход к квантовой теории поля широко обсуждался в
литературе, особенно Швингером [10, 11].
Наоборот, возможна такая формулировка теории, которая не требует
