Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
без изменения состояния системы (т. е. рассеяние целиком ко-
герентно—см. ниже). Сечение рассеяния в этом случае
do =rjZ21 е'*е |2do', (59,15)
где ге = е2!т. После суммирования по поляризациям конечного фотона получим формулу
da ~r\Z2 {1 — (еп')2} do' =r\Z2 sin2 0- do', (59,16)
действительно совпадающую с классической формулой Томсона
II (80,7) (0 —угол между направлением рассеяния и вектором поляризации падающего фотона).
Рассмотрим рассеяние света совокупностью /V одинаковых атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Тензор рассеяния такой совокупностью будет равен сумме тензоров рассеяния каждым из атомов. При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с помощью которых вычисляются матричные элементы дипольного момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых одновременно, нельзя считать просто одинаковыми. Волновые функции по самому своему существу определены лишь с точностью до произвольного фазового множителя, и эти множители у каждого атома свои. Сечение рассеяния должно быть усреднено по фазовым множителям каждого атома независимо.
Тензор рассеяния (cik)2l каждого атома содержит множитель ei (<р1-<р2)) Где ф,, ф2 — фазы волновых функций начального и конечного состояний. Для смещенного рассеяния состояния 1 и 2 различны, и этот множитель отличен от единицы. В квадрате модуля
112
(сумма —по всем N атомам) произведения членов суммы, относящихся к различным атомам, будут содержать фазовые множит
ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ
257
тели, которые обратятся в нуль при независимом усреднении по фазам атомов; останутся лишь квадраты модулей каждого из членов. Это значит, что полное сечение рассеяния N атомами получится умножением на N сечения рассеяния на одном атоме (рассеяние некогерентно).
Если же начальное и конечное состояния атома совпадают, то множители е1'№‘~ф2) = 1. Множителем N будет отличаться в этом случае амплитуда рассеяния совокупностью атомов от амплитуды рассеяния на одном атоме, сечение же рассеяния — соответственно множителем N2 (рассеяние когерентно)1). Если уровень энергии атома не вырожден, то несмещенное рассеяние будет, таким образом, полностью когерентным. Если же уровень энергии вырожден, то будет иметься также некогерентное несмещенное рассеяние, происходящее от переходов атома между различными взаимно вырожденными состояниями. Отметим, что последнее представляет собой чисто квантовый эффект: в классической теории рассеяние без изменения частоты всегда когерентно.
Тензор когерентного рассеяния дается диагональным матричным элементом (c,-ft)u; обозначим его через aik (опустив для упрощения обозначений индекс, который должен был бы указывать состояние атома). Согласно (59,6)
«¦» - fa>.,=? [ + 1;;+Г"о ] • w7>
Это выражение можно представить также и в виде
а«(и) = -^т/ — Z6,a + — У -j- (Рк)щ(Р1)п1 11 (59 18)
tKK ' «со2 | '* 1 т ^ [ соп1—со — (0 1 соп1+ш — гО J j ’ 4 ’ '
где выделено предельное выражение (59,14). Здесь р —суммар-
ный импульс электронов атома; в эквивалентности обеих формул легко убедиться, заметив, что матричные элементы импульса и дипольного момента связаны друг с другом соотношениями
ер inlm = icoln dln,
и учтя соотношения, использованные при выводе (59,14).
Если сумма или разность Е1±а не совпадают ни с одним из уровней энергии атома Еп (в том числе в области непрерывного спектра), можно опустить члены Ю в знаменателях. Заметив, что р{п — Рпи найдем тогда, что тензор aik эрмитов2):
. ___________ а« = е&. (59,19)
1) Заметим, что множитель Z2 в формулах (59,15—16) имеет ту же природу: сечение когерентного рассеяния на Z электронах одного атома в Z2 раз больше сечения рассеяния на одном электроне.
*) Этот результат связан с пренебрежением естественной шириной линии, а тем самым и возможностью поглощения падающего света—см. § 62.
258
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
Это означает, что его скалярная и симметричная части вещественны, а антисимметричная —мнима. Отметим, что антисимметричная часть заведомо обращается в нуль, если атом находится в невырожденном состоянии; волновая функция такого состояния вещественна, а тем самым вещественны и диагональные матричные элементы.
Тензор aik связан с поляризуемостью атома во внешнем электрическом поле. Чтобы установить эту связь, вычислим поправку к среднему значению дипольного момента системы, если система помещена во внешнее электрическое поле
Это можно сделать, воспользовавшись известной формулой теории возмущений (см. III, § 40): если на систему действует возмущение
то поправка первого порядка к диагональным матричным элементам некоторой величины / равна
включающееся от t = —оо, так что в первом члене со должно пониматься как co-j-iO, а во втором —как со — i0; в соответствии с этим и написаны мнимые добавки в знаменателях).
матричному элементу дипольного момента оказывается равной
причем выражение для тензора (со) отличается от выражения
(59,17) для aik обратным знаком мнимой добавки в знаменателе второго члена. По определению, (со) есть тензор поляризуемости атома в поле с частотой со. Для частот, при которых мнимые добавки в знаменателях могут быть опущены и тензор aik эрмитов, тензоры aik и а{$ просто совпадают друг с другом. В частности, при со = 0 формула (59,22) переходит в формулу 1П (76,4), причем выражение для тензора статической поляризуе-
