Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем (как и в (45,2)) трехмерно поперечную калибровку фотона. Тогда
Vft = - ek)fi = —е ТАя у= М/(,
х) Фактичёски этот член дает существенную поправку лишь в случае /2. когда связь между вращением и внутренним состоянием ядра особенно велика (см. об этом III, § 119).
240
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
где обозначено
Mfi = ^ г|/* (ае) e'kril3 d3x (56,2)
(ij3 = a()(- и а|/=з ify— начальная и конечная волновые функции электрона). Заменив в (56,1) d3p —*¦ p~d | р | do = е | р | dedo и проинтегрировав S-функцию по de, перепишем эту формулу в виде
да = е'*Шг\ М/,-№- (56,3)
Мы произведем вычисления в двух случаях, различающихся величиной энергии фотона: для со^> / и для со<<ст. Поскольку /~me4Z2<^m, то эти две области частично перекрываются (при I <^оз<<'т), так что исследование этих случаев дает по существу полное описание фотоэффекта.
Начнем со случая
со<^т. (56,4)
При этом скорость электрона мала как в начальном, так и в конечном состоянии, так что по отношению к электрону задача— целиком нерелятивистская. Соответственно этому заменим в (56,2) а нерелятивистским оператором скорости v = — iX/m (ср. § 45). Кроме того, можно перейти к дипольному приближению—заменить е‘кг«1, т. е. пренебречь импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона. Тогда
dff==ea'^i©^ lev//N°- v/; = — ^ jV’T'M3*. (56,5)
Будем рассматривать фотоэффект с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона). Тогда
e_Ze,mr
(в обычных единицах те2 —*¦ 1/а0, где а0 — fa/me2—боровский радиус).
В качестве же а|з' надо взять волновую функцию, асимптотическая форма которой содержит плоскую волну (е'рг) и наряду с ней сходящуюся сферическую (см. III, § 136, где такая функция обозначалась как ilV’)- В силу правила отбора по I переход из s-состояния возможен лишь в ^-состояние (дипольный случай). Поэтому в разложении1)
^=h ?'il (2/+1} e~№lRpi (r) Pi (nni) (56>7) /=о
х) Ниже в этом параграфе р обозначает | р |.
ФОТОЭФФЕКТ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЯ
241
(n=pIp, п1 = г/г) достаточно оставить лишь член с 1—1. Опустив несущественные фазовые множители, имеем
(56>8)
С функциями 1]) и г|/ из (56,6), (56,8) имеем
ev/,- =32у-'^тр И (nni)(nie)e_Ze’m,’i?/>i (г)йог-г*& =
= Г2Лрпг— ^ ] r*e~^Rpl W dr-
о
Согласно III (36,18) и III (36,24) радиальная функция (в принятых здесь единицах)
r„, ]//-(|^;:Ц^-"-^(2+», *.2,»,
где обозначено:
(56-9)
Нужный нам интеграл вычисляется с помощью формулы
со
J e~Xzz^~1F (а, у, kz) dz — Г (у) ка~ч (к— k)~a
о
(см. Ill (f, 3)). Заметив также, что
/\) J~i\ iv .
-- ??~2V агсе<2 v
\v — ij
получим
2'/>я4»(пё) e~2V агсс*в v
ev,. =___=------ —-----—.—. —
11 />m(I+v2)3/* —
Энергия ионизации с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона) I = Z2eitn/2. Поэтому
<"~й+1 =lr(1+v!)- №10>
Учитывая это соотношение, напишем окончательное выражение для сечения фотоэффекта с испусканием электрона в элемент телесного угла do:
/ I \i „-4V arcctgv
do = 2’1naa2(^-j i_^:,,.rv (ne)sdo, (56,11)
где a^=A2/mZe2 = a0/Z (здесь и ниже — обычные единицы). Отметим, что угловое распределение фотоэлектронов определяется
242
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
множителем (пе)2. Он максимален в направлениях, параллельных направлению поляризации падающих фотонов и обращается в нуль в перпендикулярных к е направлениях, в том числе в направлении падения. Для неполяризованных фотонов формула (56,11) должна быть усреднена по направлениям е, что сводится к замене
где n0 = k/к (см. (45,46)).
Интегрирование же формулы (56,11) по углам дает полное сечение фотоэффекта:
(в знаменателе е = 2,71...!). Как и должно быть для реакции с образованием заряженных частиц (см. III, § 147) сечение фотоэффекта вблизи его порога стремится к постоянному пределу.
(70 = е4/п/2&2—энергия ионизации атома водорода).
Процессом, обратным фотоэффекту, является радиационная рекомбинация электрона с неподвижным ионом. Сечение этого процесса (сгрек) можно найти по сечению фотоэффекта (аф) с помощью принципа детального равновесия (III, § 144). Согласно этому принципу сечения процессов i—*-/ и /—>-i (с двумя частицами в каждом из состояний i и f) связаны соотношением
где р{, ру—импульсы относительного движения частиц, a g0 gf — спиновые статистические веса состояний i и /. Учитывая также, что для фотона g — 2 (два направления поляризации), получим
(р == тм — импульс падающего электрона, к —импульс испускаемого фотона).
(пе)2 —-g-[п0п]2,
(56,12)
(М. Stobbe, 1930).
Предельное значение а при fua—^I (т. е. v—оо):
(56,13)
Случай же I (причем по-прежнему ^со<^те2) отвечает борновскому приближению (v = Ze2/%v<^. 1). Формула (56,12) принимает вид
gipbi^^gfpfef^i,
—
^рек р2
(56,15)
ФОТОЭФФЕКТ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
243
Задачи
1. Получить формулу (56,14) путем прямого использования борцовского приближения в нерелятивистском случае.
Решение. В борноЕСком приближении в качестве г[/ в формуле (56,5) надо писать просто плоскую волну г[/=е1РГ, a if—по-прежнему функция (56,6). Тогда
Фурье-компонента дается формулой (57,66), так что Vfi = 8 Улр-3тъ^ (Ze2)^2п.
Подставив в (56,5) и проишегрировав по do, получим (56,14) (при этом, с достаточной точностью, р2!2т « ш).
